[研究生入学考试题库]考研数学一真题2017年.docx

[研究生入学考试题库]考研数学一真题2017年一、选择题下列每题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求的．问题:1. 若函数在x=0处连续，则______ A． B． C．ab=0 D．ab=2 答案:A[解析] ，∵f(x)在x=0处连续，，选A．问题:2. 设函数f(x)可导，且f(x)f'(x)＞0，则______A.f(1)＞f(-1)B.f(1)＜f(-1)C.|f(1)|＞|f(-1)|D.|f(1)|＜|f(-1)|答案:C[解析] ，只有C选项满足(1)且满足(2)，所以选C．问题:3. 函数f(x，y，z)=x2y+z2在点(1，2，0)处沿向量n(1，2，2)的方向导数为______A.12B.6C.4D.2答案:D[解析] ，所求的方程导数为应选D．问题:4. 甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处，如下图中，实线表示甲的速度曲线v=v1(t)(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线v=v2(t)，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t0(单位：s)，则______ A.t0=10B.15＜t0＜20C.t0=25D.t0＞25答案:C[解析] 从0到t0这段时间内甲乙的位移分别为，则乙要追上甲，则，当t0=25时满足，故选C．问题:5. 设α为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则______A.E-ααT不可逆B.E+ααT不可逆C.E+2ααT不可逆D.E-2ααT不可逆答案:A[解析] 选项A，由(E-ααT)α=α-α=0得(E-ααT)x=0有非零解，故|E-ααT|=0，即E-ααT不可逆．选项B，由r(ααT)=1得ααT的特征值为0(n-1重)和1，故E+ααT的特征值为1(n-1重)和2，故可逆．问题:6. 已知矩阵，则______A.A与C相似，B与C相似B.A与C相似，B与C不相似C.A与C不相似，B与C相似D.A与C不相似，B与C不相似答案:B[解析] 由(λE-A)=0可知A的特征值为2，2，1 因为3-r(2E-A)=2，∴A可相似对角化，且 由|λE-B|=0可知B特征值为2，2，1 因为3-r(2E-B)=1，∴B不可能相似对角化，显然C可相似对角化， ∴A～C，且B不相似于C． 问题:7. 设A，B为随机事件，若0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，则的充分必要条件是______ A． B． C． D． 答案:A[解析] 按照条件概率定义展开等价于即P(AB)＞P(A)P(B)，对称地交换A，B位置，表示为P(BA)＞P(B)P(A)，可得A中表达式成立，则A选项符合题意．问题:8. 设X1，X2，…，Xn(n≥2)为来自总体N(μ，1)的简单随机样本，记，则下列结论中不正确的是______ A．服从χ2分布 B．2(Xn-X1)2服从χ2分布 C．服从χ2分布 D．服从χ2分布 答案:B[解析] ，A正确 C正确， D正确， 故B错误． 二、填空题问题:1. 已知函数，则f(3)(0)=______．答案:0[解析] 问题:2. 微分方程y"+2y'+3y=0的通解为y=______．答案:[解析] 齐次特征方程为，故通解为问题:3. 若曲线积分在区域D={(x，y)|x2+y2＜1}内与路径无关，则a=______．答案:-1[解析] ，由积分与路径无关知，问题:4. 幂级数在区间(-1，1)内的和函数S(x)=______．答案:[解析]问题:5. 设矩阵，α1，α2，α3为线性无关的3维列向量组，则向量组Aα1，Aα2，Aα3的秩为______．答案:2[解析] 由α1，α2，α3线性无关，可知矩阵α1，α2，α3可逆，故r(Aα1，Aα2，Aα3)=r(A(α1，α2，α3))=r(A)，再由r(a)=2得r(Aα1，Aα2，Aα3)=2．问题:6. 设随机变量X的分布函数为，其中为标准正态分布函数，则EX=______．答案:2．[解析] ，其中φ(x)为标准正态概率密度，三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．问题:1. 设函数f(u，v)具有2阶连续偏导数，y=f(ex,cosx)，求 答案:解： 问题:2. 求 答案:解： 问题:3. 已知函数y(x)由方程x3+y3-3x+3y-2=0确定，求y(x)的极值．答案:解：两边求导得： 3x2+3y2y'-3+3y'=0 (1) 令y'=0得x=±1 对(1)式两边关于x求导得6x+6y(y')2+3y2y"+3y"=0 (2) 将x=±t代入原题给的等式中，得 将x=1，y=1代入(2)得y"(1)=-1＜0 将x=-1，y=0代入(2)得y"(-1)=2＞0 故x=1处取极大值，y(1)=1；x=-1处取极小值，y(-1)=0 设函数f(x)在区间[0，1]上具有2阶导数，f(1)＞0，，证明：4. 方程f(x)=0在区间(0，1)内至少存在一个实根；答案:证明：f(x)二阶导数， 由于，根据极限的保号性得 ，即f(x)＜0 进而，有f(δ)＜0 又由于f(x)在[δ，1]上连续，由f(δ)＜0，f(1)＞0根据零点定理得： 至少存在一点ξ∈(δ，1)，使f(ξ)=0，即得证． 5. 方程f(x)+f"(x)+[f'(x)]2=0在区间(0，1)内至少存在两个不同的实根．答案:由上一小题可知，使f(ξ)=0，令F(x)=f(x)f'(x)，则f(0)=f(ξ)=0，由罗尔定理，使f'(η)=0，则F(0)=F(η)=F(ξ)=0，对F(x)在(0，η)，(η，ξ)分别使用罗尔定理： ，且η1，η2∈(η，1)(η1≠η2)，使得F'(η1)=F'(η2)=0， 即F'(x)=f(x)f"(x)+(f(x))2在(0，1)至少有两个实根．得证． 设薄片型物体S是圆锥面被柱面Z2=2x割下的有限部分，其上任一点的密度为，记圆锥与柱面的交线为C．6. 求C在xOy平面上的投影曲线的方程；答案:解：由题设条件知，C的方程为，则C在xOy平面上的投影的方程为7. 求S的质量M．答案:解：设3阶矩阵A=(α1，α2，α3)有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2．8. 证明：r(A)=2；答案:证明：由α3=α1+2α2可得α1+2α2-α3=0，即α1，α2，α3线性相关，因此，|A|=0，即A的特征值必有0． 又因为A有三个不同的特征值，则三个特征值中只有1个0，另外两个非0． 且由于A必可相似对角化，则可设其对角矩阵为所以r(A)=r(A)=2 9. 如果β=α1+α2+α3，求方程组Ax=β的通解．答案:r(A)=2，知3-r(A)=1，即Ax=0的基础解系只有1个解向量， 由α1+2α2-α3=0可得，则Ax=0的基础解系为 又β=α1+α2+α3，即，则Ax=β的一个特解为 综上，Ax=β的通解为 问题:10. 设二次型在正交变换x=Qy下的标准型为，求a的值及一个正交矩阵Q．答案:解：f(x1，x2，x3)=XTAX，其中 由于f(x1，x2，x3)=XTAX经正交变换后，得到的标准形为， 故 将a=2代入，满足r(A)=2，因此a=2符合题意，此时则 由(-3E-A)x=0，可得A的属于特征值-3的特征向量为 由(6E-A)x=0，可得A的属于特征值6的特征向量为 由(OE-A)x=0，可得A的属于特征值0的特征向量为 令P=(α1，α2，α3)，则由于α1，α2，α3彼此正交，故只需单位化即可： 则 设随机变量x，y相互独立，且x的概率分布为，Y的概率密度为11. 求P{Y≤EY}；答案:解： 则 12. 求Z=X+Y的概率密度．答案:解： (1)当z＜0，z-2＜0，而z＜0，则FZ(z)=0； (2)当z-2≥1，z＞1，即z≥3时，FZ(z)=1； (3)当0≤z＜1时， (4)当1≤z＜2时， (5)当≤z＜3时， 所以综上， 所以， 某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量μ是已知的，设n次测量结果X1，X2，…，Xn相互独立且均服从正态分布N(μ，σ2)，该工程师记录的是n次测量的绝对误差Zi=|Xi-μ|(i=1，2，…，n)，利用Z1，Z2，…，Zn，估计σ．13. 求Z1的概率密度；答案:解：FZ(z)=P(Z≤z)=P(|Xi-μ|≤z) 当z＜0，FZ(z)=0； 当z≥0，FZ(z)=P(-z≤Xi-μ≤z)=P(μ-z≤Xi≤μ+z)=Fx(μ+z)-FX(μ-z)； 当z≥0时， 综上， 14. 利用一阶矩求σ的矩估计量；答案:解： 令 由此可得σ的矩估计量 15. 求σ的最大似然估计量．答案:解：对于总体X的n个样本X1，X2，…，Xn，则相交的绝对误差的样本Z1，Z2，…，Zn，Zi=|Xi-μ|，i=1，2，…，n，令其样本值为Z1，Z2，…，Zn，Zi=|Xi-μ|，则对应的似然函数 令解得 所以为所求的最大似然估计．。