最小二乘法求二次方程系数.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑最小二乘法求二次方程系数 例1：二次方程式计算 Y=a0+a1x+a2 x2 y=-6.3+2.4x+1.3x2 下表为自动计算系数，给出9组x和y的数值，自动计算出系数 xyx^2x^3x^4xyx^2y11-2.6111-2.6123.748167.41312.69278137.81424.1166425696.41538.2251256251911654.93621612963291774.24934324015191896.164512409676919120.68172965611085求和945421.82852025153333033945285421.8452852025303328520251533322997.4系数系数值a0-6.30xya12.40896.10a21.30 原理与多项式拟合说明附后 -2.614.8113.4385.69551976.43635.86150.49768.622997.4 第一节 最小二乘法的根本原理和多项式拟合 一 最小二乘法的根本原理 从整体上考虑近似函数p(x)同所给数据点(xi,yi)(i=0,1,…,m)误差 ri?p(xi)?yi(i=0,1,…,m)的大小，常用的方法有以下三种：一是误差riri?p(xi)?yi(i=0,1,…,m)十足值的最大值max0?i?m，即误差 向量r?(r0,r1,?rm)T的∞—范数；二是误差十足值的和?i?0mri，即误差向量r的1— 范数；三是误差平方和i?0的算术平方根，即误差向量r的2—范数；前两种方法简朴、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和i?0体大小。

 ?rm2i?rm2i来 度量误差ri(i=0，1，…，m)的整 数据拟合的概括作法是：对给定数据 (xi,yi) (i=0,1,…，m)，在取定的函数类?中,求p(x)??,使误差ri?p(xi)?yi(i=0,1,…,m)的平方和最小，即 i?0?rim2=i?02??p(x)?y?ii?minm 从几何意义上讲，就是寻求与给定点(xi,yi)(i=0,1,…,m)的距离平方和为最 小的曲线y?p(x)（图6-1）函数p(x)称为拟合 函数或最小二乘解，求拟合函数p(x)的方法称为曲线拟合的最小二乘法 在曲线拟合中，函数类?可有不同的选取方法. 6—1 二 多项式拟合 假设给定数据点(xi,yi)(i=0,1,…,m)，?为全体次数不超过n(n?m)的多项式构成的函数类，现求一 m pn(x)??akxk??k?0n,使得 2?n?2I???pn(xi)?yi?????akxik?yi??mini?0i?0?k?0? (1) 当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，得志式（1）的pn(x)称为最小二乘 m拟合多项式。

更加地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合 鲜明 为a0,a1,?an的多元函数，因此上述问题即为求I?I(a0,a1,?an)的极值 问题由多元函数求极值的必要条件，得 mn?I?2?(?akxik?yi)xij?0,j?0,1,?,n?aji?0k?0 (2) i?0k?0I??(?akxik?yi)2mn即 i?0k?0i?0（3）是关于a0,a1,?an的线性方程组，用矩阵表示为 ?(?x??m?1?m?xi??i?0???m??xin??i?0nmj?ki)ak??xijyi,mj?0,1,?,n (3) ?x?xi?0i?0mmi2i??xi?0mn?1i??m???x?y??i?ai?0??i?0?0?m?mn?1??a???xi?1???xiyi???i?0??i?0???????????a?m?mn2n??n???xiyi???xi????i?0? (4) i?0?nim式（3）或式（4）称为正规方程组或法方程组 可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。

从式（4）中解出ak(k=0,1,…，n)，从而可得多项式  (5) 可以证明，式（5）中的pn(x)得志式（1），即pn(x)为所求的拟合多项式我 k?0pn(x)??akxkn们把i?0??pmn(xi)?yi?2称为最小二乘拟合多项式pn(x)的平方误差，记作 r22???pn(xi)?yi?i?0nmm2 由式(2)可得 r22??y??ak(?xikyi)2ii?0k?0i?0m (6) 多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步： (1) 由已知数据画出函数粗略的图形——散点图，确定拟合多项式的次数n； (2) 列表计算i?0和i?0(3) 写出正规方程组，求出a0,a1,?an； (4) 写出拟合多项式 pn(x)??akxkk?0n?xmji(j?0,1,?,2n)?xmjiyi(j?0,1,?,2n)；  在实际应用中，n?m或n?m；当n?m时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛顿插值多项式  例1 测得铜导线在温度Ti(℃)时的电阻Ri(?)如表6-1，求电阻R与温度 T的近似函数关系。

 i 0 1 19.1 25.0 Ti(℃) Ri(?) 2 30.1 79.25 3 36.0 80.80 4 40.0 82.35 5 45.1 83.90 6 50.0 85.10 76.30 77.80 解 画出散点图（图6-2），可见测得的数据接近一条直线，故取n=1，拟合函数为 R?a0?a1T 列表如下 i Ti Ri TiRi Ti2 0 1 2 3 4 5 6 正规方程组为 245.3??a0??565.5??7?245.39325.83??a???20229.445????1??? ?19.1 25.0 30.1 36.0 40.0 45.1 50.0 245.3 76.30 77.80 79.25 80.80 82.35 83.90 85.10 565.5 364.81 625.00 906.01 1296.00 1600.00 2034.01 2500.00 9325.83 1457.330 1945.000 2385.425 2908.800 3294.000 3783.890 4255.000 20229.445 解方程组得 a0?70.572,a1?0.921 故得R与T的拟合直线为 R?70.572?0.921T 利用上述关系式，可以预料不同温度时铜导线的电阻值。

例如，由R=0得T=-242.5，即预料温度T=-242.5℃时，铜导线无电阻 6-2 例2 例2 已知测验数据如下表 i 0 1 2 3 1 3 4 5 xi yi4 6 1 5 7 1 6 8 2 7 9 3 8 10 4 10 5 4 2 试用最小二乘法求它的二次拟合多项式 解 设拟合曲线方程为 2y?a0?a1x?a2x 列表如下 I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 xi yi xi2 xi3 xi4 xiyi xi2yi ?1 3 4 5 6 7 8 9 10 53 10 5 4 2 1 1 2 3 4 32 1 9 16 25 36 49 64 81 100 381 1 27 64 125 216 343 512 729 1000 3017 1 81 256 625 1296 2401 4096 6561 10000 25317 10 15 16 10 6 7 16 27 40 147 10 45 64 50 36 49 128 243 400 1025 得正规方程组 52?9?52381???3813017381??a0??32??a???147?3017???1???25317????a2????1025?? 解得 a0?13.4597,a1??3.6053a2?0.2676 故拟合多项式为 y?13.4597?3.6053?0.2676x2 *三 最小二乘拟合多项式的存在唯一性 定理1 设节点x0,x1,?,xn互异，那么法方程组（4）的解存在唯一。

 证 由克莱姆法那么，只需证明方程组（4）的系数矩阵非奇异即可 用反证法，设方程组（4）的系数矩阵奇异，那么其所对应的齐次方程组 — 6 —。