求数列通项公式的十种方法.docx

求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一•利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法二四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式等差数列、 等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法三•求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数 列四•求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法五•数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数一、累加法1 •适用于：疽]=气+ f（n） 这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一2.若气+]-气=f （n）心 2）,a 2 - a1 = f （1）则{-{ = f（2）a - a = f （n）两边分别相加得an+1 -a1 =切/(n)k=1例1 已知数列｛a ｝满足a = a + 2n +1 a =1 ,求数列｛a ｝的通项公式 n n+1 n 1 n解：由 a = a + 2n +1 得 a 一 a = 2n +1 贝寸n+1 n n+1 na = (a — a ) + (a — a ) + + (a — a ) + (a — a ) + an n n—1 n—1 n—2 3 2 2 1 1=[2( n — 1) +1] + [2( n — 2) +1] + + (2 x 2 +1) + (2 x 1 +1) +1=2[(n — 1) + (n — 2) + + 2 +1] + (n — 1) +1• • •(n — 1)n=2 ——— + (n — 1) +1 ...=(n — 1)(n +1) +1 …= n2所以数列｛a「的通项公式为a” = n2。

例2 已知数列｛a ｝满足a = a + 2x3〃 +1, a = 3，求数列｛a ｝的通项公式n n+1 n 1 n解法一：由 a = a + 2 x 3n +1 得 a-a = 2 x 3n +1 贝寸+ (a —a ) + (a —a ) +a3 2 2 1 1+ (2 x 32 +1) + (2 x 31 +1) + 3=2(3n-1 + 3n - 2 + + 32 + 31) + (n -1) + 3• • •=23(1— 3n-1) + (n -1) + 3 -1 - 3=3n — 3 + n — 1 + 3a = (a - a ) + (a - a ) +=(2 x 3n-1 + 1) + (2 x 3n-2 + 1) +=3n + n — 1所以 a. = 3n + n — 1.解法二：a 1 = 3a + 2x3n +1两边除以3n+1a 2 1n + — + ——3n 3 3n+1a a 2 1则一n+1 — —n = — + 3n+1 3n 3 3n+1，故L = (土 -泰)+ (八-^n-2) + (— - ^) + + (-氏)+ 氏 3n 3n a a 3n - 2 3n - 2 3n-3 32 31 3n-1 n-1_,2 1 .2 1 2 1、 ,2 13=(+ ) + ( +) + ( +) + + ( + ) +3 3/ 3 3n-1 3 3n-/ 3 ..3/ 32( n -1) ,11 1 1 1、1= + (— + — + ——+ + + —) +13 3n 3n 3n-1 3n - 2 32• • •+1 =虬 1 —3 2 2 x 3na _ 2(n-1) £(1-3〃-1) 因此京+ 1-3练习1.已知数列{”的首项为1 且 a = a + 2n(n g N*)写出数列即的通项公式.答案.n2 — n +1练习2.已知数列{a }、“危=3 厂气-1+ 朽(n 2 2)n /满足 1 ,，求此数列的通项公式答案：裂项求和a评注：已知1a - a = f (n)，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数a 函数、分式函数，求通项n .① 若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；② 若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和；③ 若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；④ 若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。

S = n 1 n刀 Sn= Tn + 云匚 Sn= ^ (S〃 - 七 + 厂丁'解：由已知 n 得 n n-1 ,( a + n)一 .，,{a } , a > 0 n 2 n a , .{a }__、.、 例3.已知数列 n中，n 且 n，求数列 n的通项公式.化简有 n n-1，由类型(1)有S2 = S2 + 2 + 3 + n1S2_〃(〃 + l) 、 — J&O +1)S = ci a —1 n 2 n 2又1 1得1 ,所以 匕 ，又〃 ， 匕J2n(n + 1) - y!2n(n -1) a t n 2则 匕此题也可以用数学归纳法来求解.二、累乘法1 .适用于：an+l n这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二°2•若孔=/(〃)，则％ = f(l)^ = f(2), ，■^ = f(〃)a a a an 1 2 n两边分别相乘得，一ri—Q f (k)a ii k=i已知数列｛Q ｝满足n n+l=2(〃+ 1)5〃 xa ,na =3i，求数列｛｝的通项公式n解：因为 i = 2(〃 +1)5〃 x a ,n+lQ =31，所以na则一n+i- = 2(〃 + 1)5"，故 ana—h-4- .an-2aa — —«- n an-1= [2(〃 —1 + 1)5〃-1][2(〃 —2 + 1)5〃-2]..[2(2 + 1)x52][2(1+1)x5i]x3-2n-i [n(n -!)•* • 3 x 2] x5(〃—l)+(〃—2)+ +2+1 x 3=3x2n-i x5 2 xn!所以数列｛。

｝的通项公式为Q =3x2〃-ix5 2 x〃!. n n_ ｛i ｝, G + l)^2 -na^+a a =0 、例5.设 n是首项为1的正项数列，且 n+l n n+l n ( 〃=1，2，3，则它的通项公式是“〃二.“卜 (Q + 1 )k〃 + l)Q - na ]=0解：已知寺式可化为：〃+1 n «+1 n•••an >0 ( n e N * ).・.(n+1) an+1一 nana _ n -1ann-1a = 土 . nna an-1 n - 2a〜-aa11. 一・ 一 a 一 a评注：本题是关于n和n+1的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到an与an+1的更为明显的关系式，从而求出an练习.已知"n+1 "气+ " 1'1 > 1,求数列｛an｝的通项公式.答案：T S —1)!31 + 1) -1.评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式an+1 — n（ln + n 一1,转化为n+1 I n '若令n n ，则问题进一步转化为n+1 n形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.三、待定系数法 适用于an+1 = qan + /（n）基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一 个函数。

1 •形如anLn + d，（C' 0，其中广a ）型a（1）若c=1时，数列｛ n ｝为等差数列;a（2）若d=0时，数列｛ n ｝为等比数列;（3）若C " 1且4 " 0时，数列｛ an ｝为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列 来求.彳寺定系数法：设an+1 +『叫+X ）得气1 =吃+ (C-M ,与题设\Ln + '比较系数得人= —'(c ^ 0) a + — = c(a + —)(C - 1)X= d，所以 c - P '所以有：〃 c - 1 n-1 c - 1I d I d夹 j"n c -1 [… a1 +^~1工，右 \ 生上1因此数列l )构成以 c 1为首项，以C为公比的等比数列，d , d、 d da + 1 = (a + 1) - cn-i a = (a + ) - cn-1 一 d d有 ，，，，/ a = ca + d a n+1 + . _1 = c(an + . _1), , *规律：将递推关系〃+1 〃 化为 c 1 c 1，构造成公比为C的等比数{a + 日} a = ' + cn-1 (a + 日)列n c-1从而求得通项公式n+1 1一c 1 c-1逐项相减法(阶差法)：有时我们从递推关系n+1 n 中把n换成nT有n n-1 ,两式相减有an+1 -an = ""〃— "nT)从而化为公比为C的等比数列'"n+1 _(ln ｝，进而求得通项公 a - a = cn (a - a )式.n+1 n 2 /，再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.例6已知数列｛a｝中，a1 = 1, a = 2a 一] + 1(n > 2)，求数列｛a｝的通项公式。

解法一： a = 2a + 1(n > 2),n n-1... a +1 =• 2(a 1 +1)又 a1 +1 = 2,.・.{an +1}是首项为2,公比为2的等比数列a +1 = 2 n •，即 a = 2 n — 1解法二：a = 2a + 1(n > 2),n n 1.♦.a - 2a +1两式相减得a〃+1 — an = 2(an - a〃「(n > 2)，故数列{a〃+1 -aj是首项为2,公比为2的等比数列，再用累加法的练习•已知数列{an }中，1=2, a+i=2 a1+ 2,上一2求通项n2.形如：a+i" - a+q(其中q是常数，且n0,1)①若p=1时，即："n+1n *勺，累加即可.②若p1时，即：a+1” v+ qn求通项方法有以下三种方向：i..一. Pn+1两边同除以P .目的是把所求数列构造成等差数列n=幻+Lpn+1 qn p：(5 nI ,令bn= PT bn+1 - bn = P -十，则 ，然后类型1，累加求通项.qn+1ii.两边同除以"目的是把所求数列构造成等差数列a p a—n+1 =——-—nqn+1 q qn即：b = 土 b = P • b +1n qn n+1 q n q令 ，则可化为 .然后转化为类型5来解，iii。