二次三项式因式分解复习.docx

二次三项式因式分解复习复习目标：(1) 理解二次三项式的意义；(2) 理解十字相乘法的根据；(3) 能用十字相乘法分解二次三项式；(4) 重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1 的二次三项式的十字相乘法． 【重点难点解析】1．二次三项式多项式ax 2 + bx + c,称为字母x的二次三项式，其中ax 2称为二次项，bx为一次 项，c为常数项.例如，x2 -2x-3和x2 + 5x + 6都是关于x的二次三项式.在多项式x2 -6xy + 8y2中，如果把y看作常数，就是关于x的二次三项式；如果 把x看作常数，就是关于y的二次三项式.在多项式2a2b2 - 7ab + 3中，把ab看作一个整体，即2(ab)2 - 7(ab) + 3，就是 关于ab的二次三项式.同样，多项式(x + y)2 + 7(x + y) +12，把x+y看作一个整体， 就是关于x+y的二次三项式.十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法.2. 十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax+b)(cx+d)竖式乘法法则.它的一般规 律是：(1) 对于二次项系数为1的二次三项式x2 + px + q，如果能把常数项q分解成两个因 数a，b的积，并且a+b为一次项系数p,那么它就可以运用公式x 2 + (a + b) x + ab = (x + a)(x + b)分解因式.这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”.公式中的 x 可以表示单项 式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符 号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中 绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同.(2) 对于二次项系数不是1的二次三项式ax2 + bx + c (a，b，c都是整数且aMO)来说， 如果存在四个整数a2, % C2，使J 3= a，弓叮C，且罕2 +仔广b，那么 ax2 + bx + c = a a x2 + (a c + a c )x + c c = (a x + c )(a x + c )它的特征1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复 杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定.学习时要注意符号的规律.为 了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项 系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与 一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两 数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同.用十字相乘法分解因式，还要注意 避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系 数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母.如：5x2 + 6xy — 8y2 = (x + 2)(5x — 4)3．因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相 乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复 进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试 一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．教学过程：一、师生互动1、把下列各式分解因式：(1) x2一 2x-15 ； (2) x2 -5xy + 6y2.点悟：(1)常数项一15可分为3 X(-5)，且3 + ( —5)=—2恰为一次项系数；(2)将y看作常数，转化为关于x的二次三项式，常数项6y2可分为(一2y)( —3y),而(一 2y) + ( —3y) = (—5y)恰为一次项系数.解：(1) x2 — 2x —15 = (x + 3)(x — 5)；(2) x2 — 5xy + 6y2 二(x — 2y)(x — 3y).2、 把下列各式分解因式：(1) 2 x2 — 5 x — 3 ； (2) 3 x2 + 8 x — 3 .点悟：我们要把多项式ax2 + bx + c分解成形如(ax + c )(ax + c )的形式，这里1 1 2 2a a = a， c c = c 而 a c + a c = b .1 2 1 2 1 2 2 1解：(1) 2x2 — 5x — 3 = (2x +1)(x — 3)；(2) 3x2 + 8x — 3 = (3x — 1)(x + 3).点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和 常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练 习，积累经验，才能提高速度和准确性．3、 把下列各式分解因式：(1) x 4 -10 x 2 + 9 ；(2) 7(x + y)3 -5(x + y)2 -2(x + y)；(3) (a2 + 8a)2 + 22(a2 + 8a) +120 .点悟：(1)把x2看作一整体，从而转化为关于x2的二次三项式；(2) 提取公因式(x+y)后，原式可转化为关于(x+y)的二次三项式；(3) 以(a2 + 8a)为整体，转化为关于(a2 + 8a)的二次三项式.解：(1) x4 -10x2 + 9 = (x2 -1)(x2 - 9)= (x+1)(x—1)(x+3)(x—3).(2) 7(x + y)3 -5(x + y)2 -2(x + y)=(x + y)[7(x + y)2 -5(x + y) - 2]=(x+y)[(x+y)—1][7(x+y)+2]=(x+y)(x+y—1)(7x+7y+2)．(3) (a 2 + 8a )2 + 22( a 2 + 8a) +120=(a2 + 8a + 12)(a2 + 8a +10)=(a + 2)(a + 6)(a 2 + 8a +10)点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一 个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否 能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止．4、分解因式：(x2 + 2x — 3)(x2 + 2x — 24) + 90 .点悟：把x2 + 2x看作一个变量，利用换元法解之.解：设x2 + 2x二 y ,贝y原式= (y—3)(y—24)+90—y 2 — 27 y +162= (y—18)(y—9)—(x2 + 2x —18)(x2 + 2x — 9).点拨：本题中将x2 + 2x视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的 良好效果.此外，y2 — 27y +162 — (y -18)(y -9) 一步，我们用了“十字相乘法”进 行分解．例 5 分解因式6x4 + 5x3 — 38x2 + 5x + 6.点悟：可考虑换元法及变形降次来解之．11解：原式—x2[6(x2 + ) + 5(x + ) — 38]1 x 21 x—x2[6(x + — )2 + 5(x + ) — 50]，1 x x令x + — y ,贝yx 原式—x 2(6 y2 + 5 y — 50)— x2(2y—5)(3y+10)23—x 2(2 x + — 5)(3x + +10)xx— (2x2 — 5x + 2)(3x2 +10x + 3)— (x — 2)(2x —1)(x + 3)(3x +1) ．点拨：本题连续应用了“十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙 令人眼花瞭乱．但是，品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”，这是一个 重要环节．例6分解因式x2 — 2xy + y2 — 5x + 5 y — 6 ．点悟：方法1：依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于(x—y)的二次三项式. 方法2：把字母y看作是常数，转化为关于x的二次三项式.解法 1： x2 —2xy + y2 —5x+5y —6—(x2 —2xy+ y2)+(—5x+5y)—6二(x - y)2 — 5(x - y) - 6-(x - y +1)(x - y - 6).解法2： x 2 一 2 xy + y 2 一 5 x + 5 y 一 6=x2 一 (2y + 5)x + y2 + 5 y 一 6二 x2 - (2y + 5)x + (y + 6)(y -1)-[x —(y + 6)][ x 一(y —1)]= (x—y—6)(x—y+l).例 7 分解因式：ca(c—a)^bc(b—c)^ab(a—b).点悟：先将前面的两个括号展开，再将展开的部分重新分组 解：ca(c—a)+bc(b—c)+ab(a—b)=ac 2 - a 2c + b2c - be 2 + ab (a - b)=c2(a-b)-c(a2 -b2) + ab(a-b)二 c2 (a - b) - c(a + b)(a - b) + ab(a - b)=(a -b)[c2 - c(a + b) + ab]= (a—b)(c—a)(c—b). 点拨：因式分解，有时需要把多项式去括号、展开、整理、重新分组，有时仅需要把某 几项展开再分组.此题展开四项后，根据字母c的次数分组，出现了含a—b的因式， 从而能提公因式.随后又出现了关于c的二次三项式能再次分解.例8 已知x4 + 6x2 + x +12有一个因式是x2 + ax + 4 ,求a值和这个多项式的其他因 式.点悟：因为x4 + 6x2 + x +12是四次多项式，有一个因式是x2 + ax + 4 ,根据多项式的 乘法原则可知道另一个因式是x 2 + bx + 3 ( a、b是待定常数)，故有 x4 + 6x2 + x +12 = (x2 + ax + 4)' (x2 + bx + 3).根据此恒等关系式，可求出 a，b 的值.解：设另一个多项式为x2 + bx + 3，贝yx 4 + 6 x 2 + x +12=(x 2 + ax + 4)( x 2 + bx + 3)=x4 + (a + b)x3 + (3 + 4 + ab)x2 + (3a + 4b)x +12，*.* x4 + 6x2 + x +12与 x4 + (a + b)x3 + (3 + 4 + ab)x2 + (3a £4b)x +12 是同一个多 项式，所以其对对应项系数分别相等.即有 ②由①、③解得，a=—1，b=1，代入②，等式成立.a=—1，另—个因式为x2 + x + 3 .点拨：这种方法称为待定系数法，是很有用的方法.待定系数法、配方法、换元法是因 式分解较为常用的方法，在其他数学知识的学习中也经常运用．希望读者不可轻视．【易错例题分析】例 9 分解因式：5a2b2 + 23aby -10y2.错解：J -10 = 5X(-2), 5 = 1X5,5X5 + 1X( —2) = 23,原式= (5a》+5y)( —2a》+5y).警示：错在没有掌握十字相乘法的含义和步骤.正解：J 5 = 1X5，—10 = 5X( —2)， 5X5 + 1X( —2) = 23.原式= (a》+5y)(5a》一2y).【同步练习】一、选择题1. 如果 x2 - px + q 二(x + a)(x + b)，那么 p 等于 ()A. ab B. a＋b C.—ab D.—(a＋b)2. 如果 x2 + (a + b)' x + 5b 二 x2 - x - 30，贝y b 。