概率论与数理统计：第3章连续型随机变量及其分布4.ppt

3.6随机变量的函数及其分布在实际问题中，往往会遇到这样的问题：已知一个随机变量的分布，要求其函数的分布(假定此函数也是一个随机变量)对这类问题的解决方法,我们希望通过已知的的分布来求出随机变量函数的分布一、一维随机变量的函数及其分布下面我们给出求的分布函数和密度函数的一般步骤：（1）由的值域确定的值域2）对任意一个，求出，即其中是实数轴上的某个集合3）按分布函数的性质写出；（4）对 求导数得到，即 例1设服从，求的分布函数和密度函数解的取值范围为，且（1）当时，（2）当时，（3）当时，所以，分布函数为所以，密度函数为例2 设，求的密度函数解随机变量的密度函数为随机变量的取值范围为，（1）当时， （2）当时，因此，的分布函数为所以，的密度函数为例3已知的密度函数为求的密度函数解的值域为，因此对任意一个，有所以，的密度函数为如果是一个单调且有一阶连续导数的函数，则随机变量的函数的密度函数有如下性质：设连续型随机变量的密度函数为，是一个单调函数且具有一阶连续导数，是的反函数，则随机变量的函数的密度函数为利用这条性质，我们可以得到一条关于正态分布的线性性质，结果如下：设则特别地，当时，例4设服从，求的密度函数。

解已知且为一个单调且有一阶连续导数的函数，其反函数，则随机变量函数的密度函数为例5假设由自动生产线加工的某种零件的内径（单位：mm)服从正态分布，内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品则亏损，已知销售利润（单位：元）与销售零件的内径有如下关系：求的分布律 解显然不是一个连续函数事实上，是一个离散型随机变量，它可能的取值为，且同理所以，的分布律为二、二维随机变量函数的密度函数已知的密度函数为，如何求得随机变量的密度函数？下面着重讨论的分布例6设X与Y相互独立，且都服从指数分布，试求的密度函数解指数分布的密度函数为因为X与Y相互独立，X与Y的联合密度函数为的值域，当时，其中，从而，当时，通过求导数得的密度函数为 例7 设X与Y相互独立，且，试求的密度函数 解因为X与Y相互独立，X与Y的联合密度函数为的值域，当时，其中由于和时的积分区域形状不同，因此，需要分别讨论 当 时， 当时，所以，的分布函数为求导数得到的密度函数为一般地，当X与Y的联合密度函数为时，的分布函数为对花括号内的积分作变换，得到于是从而，Z的密度函数为当X与Y相互独立时，上式成为这个公式称为卷积公式。

把X与Y的地位对调，同样可得卷积公式的另一种形式 注意：由于许多问题中是分段函数，因此具体问题中使用卷积公式并不带来方便当密度函数是连续函数时，应用卷积公式可以直接求得密度函数，因而比较方便定理3.9（正态分布的可加性）设X与Y相互独立，当时，有证明的边缘密度函数分别为按卷积公式，对任意一个，随机变量函数的密度函数由习题3.12提供的积分公式得到这恰是的密度函数用数学归纳法不难把定理3.9推广到n个相互独立的正态随机变量和上去在有些情形下，对略微复杂一点的函数(例如等)用本节所讲的一般方法也很容易解决计算过程的关键是确定区域并求出重积分三、串并联系统问题设两个元件的寿命分别为，假定它们相互独立1）当这两个元件并联时，系统的寿命为（2）当这两个元件串联时，系统的寿命为如果的分布函数分别为，那么U的分布函数为V的分布函数为对于n个元件的串联系统与并联系统，很容易得到类似的结果 例8设X与Y是独立同分布的随机变量，它们都服从区间上的均匀分布，其中，试求与的密度函数解均匀分布的分布函数U的值域，当时，于是，U的密度函数 V的值域，当时：于是，V的密度函数为这里还要指出，尽管最大值、最小值分布函数的公式对离散型随机变量适用，但是，由于涉及较麻烦的分段函数运算，因此还是用2.6中给出的方法较容易，即通过求出概率函数来得到分布函数。