2025年高考数学三轮复习考前冲刺练习02 立体几何（解答题）（教师版）.docx

立体几何（解答题）年份题号分值题干考点2024年新高考I卷1715（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD，，．(1)若，证明：平面；(2)若，且二面角的正弦值为，求．证明线面平行；由二面角大小求线段长度或距离；证明面面垂直2024年新高考II卷1715（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．(1)证明：；(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．线面垂直证明线线垂直；面面角的向量求法；证明线面垂直；求平面的法向量2023年新高考I卷1812（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．  (1)证明：；(2)点在棱上，当二面角为时，求．空间位置关系的向量证明；面面角的向量求法；已知面面角求其他量2023年新高考II卷2012（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．(1)证明：；(2)点F满足，求二面角的正弦值．线面垂直证明线线垂直；面面角的向量求法；证明线面垂直2022年新高考I卷1912（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．(1)求A到平面的距离；(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．求点面距离；面面角的向量求法2022年新高考II卷2012（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．  (1)证明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．证明线面平行；面面角的向量求法近三年新高考数学立体几何解答题考查情况总结​空间位置关系证明：频繁考查线面平行、线面垂直、面面垂直的证明。

如通过线线平行证明线面平行，利用线线垂直证明线面垂直进而证明面面垂直 ​空间角计算：二面角的向量求法是重点，常给出相关几何条件，要求考生建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的正弦值或余弦值也涉及线面角相关计算​距离与线段长度求解：包括求点到平面的距离、由二面角大小求线段长度等常借助等体积法或向量法求解点面距离，根据几何关系和空间向量运算求线段长度 ​题目设置方面​通常设置两问，第一问多为空间位置关系的证明，如证明线面平行或垂直等，考查对相关判定定理的理解和运用；第二问多为空间角的计算或线段长度、距离的求解，在第一问的基础上，要求考生熟练运用空间向量方法或几何方法进行计算，综合性较强整体考点稳定，注重对空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力的考查 题型与分值：预计 2025 年新高考中，立体几何仍会以一道解答题（分值约 13 - 15 分）的形式出现，设置两问，有一定难度梯度，循序渐进引导解题​考查方向​空间位置关系：线面平行、线面垂直、面面垂直的证明依然是重点内容可能会给出更复杂的几何图形，如组合体（棱柱与棱锥组合等），要求考生从复杂图形中准确找出线线、线面、面面关系，运用判定定理进行证明 。

​空间角计算：二面角的向量求法仍是核心考点，可能会结合实际应用背景（如建筑设计中的角度问题）或与其他知识（如三角函数）综合考查也可能出现线面角、异面直线所成角的计算，考查考生建立空间直角坐标系、准确计算向量坐标和运用向量公式的能力 ​距离与体积：点到平面的距离、几何体的体积计算可能会有所涉及可能需要考生灵活运用等体积法、向量法等方法求解距离，根据几何图形的特征计算体积，考查运算求解能力和转化与化归思想 ​创新题型：可能会出现一些创新题型，如开放性问题（给出部分条件，让考生补充条件并证明相关结论）、探究性问题（探究几何图形中某些元素的变化对空间位置关系或空间角的影响），考查考生的创新思维和综合运用知识的能力 1. 空间中的平行关系（1） 线线平行（2） 线面平行的判定定理：平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行（3） 线面平行的性质定理若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行（4） 面面平行的判定定理判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行（5） 面面平行的性质定理性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行2. 空间中的垂直关系（1） 线线垂直（2） 线面垂直的判定定理一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直（3） 线面垂直的性质定理性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行（4） 面面垂直的判定定理一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直（或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直）（5） 面面垂直的性质定理两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面3. 异面直线所成角=（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）4. 直线与平面所成角，(为平面的法向量).5. 二面角的平面角（，为平面，的法向量）.6. 点到平面的距离 （为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.典例1（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD，，．(1)若，证明：平面；(2)若，且二面角的正弦值为，求．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证出平面，即可得，由勾股定理逆定理可得，从而 ，再根据线面平行的判定定理即可证出；（2）过点D作于，再过点作于，连接，根据三垂线法可知，即为二面角的平面角，即可求得，再分别用的长度表示出，即可解方程求出．【详解】（1）（1）因为平面，而平面，所以，又，，平面，所以平面，而平面，所以.因为，所以， 根据平面知识可知，又平面，平面，所以平面．（2）如图所示，过点D作于，再过点作于，连接，因为平面，所以平面平面，而平面平面，所以平面，又，所以平面，根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角，即，即．因为，设，则，由等面积法可得，，又，而为等腰直角三角形，所以，故，解得，即．典例2（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．(1)证明：；(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可证得，则，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明；（2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角即可.【详解】（1）由，得，又，在中，由余弦定理得,所以，则，即，所以，又平面，所以平面，又平面，故；（2）连接，由，则，在中，，得，所以，由（1）知，又平面，所以平面，又平面，所以，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系，则，由是的中点，得，所以，设平面和平面的一个法向量分别为，则，，令，得，所以，所以，设平面和平面所成角为，则，即平面和平面所成角的正弦值为.典例3（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．  (1)证明：；(2)点在棱上，当二面角为时，求．【答案】(1)证明见解析；(2)1【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；（2）设，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，  则，，，又不在同一条直线上，.（2）设，则，设平面的法向量，则，令 ，得，，设平面的法向量，则，令 ，得，，，化简可得，，解得或，或，.典例4（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．(1)证明：；(2)点F满足，求二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）根据题意易证平面，从而证得；（2）由题可证平面，所以以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，再求出平面的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出．【详解】（1）连接，因为E为BC中点，，所以①，因为，，所以与均为等边三角形，，从而②，由①②，，平面，所以，平面，而平面，所以．（2）不妨设，，．，，又，平面平面．以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：  设，设平面与平面的一个法向量分别为，二面角平面角为,而，因为，所以，即有，，取，所以；，取，所以，所以，，从而．所以二面角的正弦值为．典例5（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．(1)求A到平面的距离；(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由等体积法运算即可得解；（2）由面面垂直的性质及判定可得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.【详解】（1）在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h，则，解得，所以点A到平面的距离为；（2）取的中点E,连接AE,如图，因为，所以,又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，由平面，平面可得，，又平面且相交，所以平面，所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得，所以，，所以，则,所以的中点，则，,设平面的一个法向量，则，可取，设平面的一个法向量，则，可取，则，所以二面角的正弦值为.典例6（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．  (1)证明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接并延长交于点，连接、，根据三角形全等得到，再根据直角三角形的性质得到，即可得到为的中点从而得到，即可得证；（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得.【详解】（1）证明：连接并延长交于点，连接、，因为是三棱锥的高，所以平面，平面，所以、，又，所以，即，所以，又，即，所以，，所以所以，即，所以为的中点，又为的中点，所以，又平面，平面，所以平面  （2）解：过点作，如图建立空间直角坐标系，因为，，所以，又，所以，则，，所以，所以，，，，所以，则，，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以；设平面的法向量为，则，令，则，，所以；所以.设二面角的大小为，则，所以，即二面角的正弦值为.  【名校预测·第一题】（重庆市南开中学校2025届高三下学期高考模拟数学试题）如图，三棱锥中，，．异面直线和所成角的余弦值为，点是线段上的一个动点．(1)证明：平面平面；(2)若二面角的正弦值为，求．【答案】(1)证明见解析(2)【来源】重庆市南开中学校2025届高三下学期高考模拟数学试题【分析】（1）结合题目条件，利用线面垂直可证面面垂直.（2）以为原点。