求函数值域方法和习题.doc

求函数值域的方法〔1直接法：从自变量x的范围出发,推出y=f的取值范围；一次函数y=ax+b的定义域为R,值域为R；反比例函数的定义域为{x|x0},值域为{y|y0}；二次函数的定义域为R,当a>0时,值域为{}；当a<0时,值域为{}〔2配方法：如果y=f是二次函数或是可以化为二次函数的函数,则可以用配方法求值域.[例1]求下列函数的值域：〔1y=x2-4x+5； 〔2y=x2-4x+5,x∈[1,4]； <3> y=x2+2x+4, x∈[0,+∞〔4y=-x4+2x2+3； 〔5y=； <6> y=4x+2x+1〔7y=； 〔8y=sin2x-sinx+〔3基本不等式法：利用平均不等式求值域转化成型如：,用公式来求值域；[例2]求下列函数的值域： 〔1y=,〔x>0； 〔2y=4,〔x≠0； 〔3y=,〔0＜x≤2；〔4y=x<6-x>； 〔5y=,〔4不等式性质法[例3]求下列函数的值域： 〔1y=； 〔2y=； 〔3y= 〔4y=10-； 〔2y=； 〔3y=〔5逆求法〔反求法：通过反解,用来表示,再由的取值范围,通过解不等式,得出的取值范围；常用来解,型如：或将求函数的值域转化为求它的反函数的值域.[例4]求下列函数的值域：〔1y=； 〔2y=； 〔3y=；〔法一反函数法：〔法二分离变量法：〔6函数单调性法：函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域.[例5]求下列函数的值域：〔1y=x3+arcsinx； 〔2y=<正常数a≠1,x≥1>；〔3y=； 〔4y=〔7换元法〔代数换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想；[例6]〔1；〔2[解]〔1设,则,∴原函数可化为,∴,∴原函数值域为．说明：总结型值域,变形：或〔2三角换元法：∵,∴设,则∵,∴,∴,∴,∴原函数的值域为．〔8几何法：由数形结合,转化斜率、距离等求值域；图像法：当一个函数图象可作时,通过图象可求其值域[例7]〔1已知,求函数u=3x+4y的值域；〔2〔3对于圆x2+2=1上任一点P〔x,y,不等式x+y+m≥0恒成立,求实数m的取值范围；〔4求函数的值域.解：〔2问题转化为直线y=kx与圆2+y2=1有公共点时,斜率的取值范围问题。

现在只要求出k的最大和最小值即可〔3,〔4数形结合法：,∴,∴函数值域为．〔9最值法：[例7]求下列函数的值域：拓展[例1]求函数f=的值域：[例2]求函数f=的值域是[-1,9],求实数a、b值.Ⅲ. 小结1．熟练掌握求函数值域的几种方法,并能灵活选用；2．求值域时要务必注意定义域的制约；3．含字母参数或参数区间的一类值域问题要进行合理分类讨论；4．用不等式求值域时要注意"="的成立条件5．对于二次函数,⑴若定义域为R时,①当a>0时,则当时,其最小值；②当a<0时,则当时,其最大值⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]①若[a,b],则是函数的最小值〔a>0时或最大值〔a<0时,再比较的大小决定函数的最大〔小值②若[a,b],则[a,b]是在的单调区间内,只需比较的大小即可决定函数的最大〔小值<3>若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大〔小值；<4>当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论Ⅳ. 巩固练习夯实基础[题组一]1．函数y=的值域是；3．函数y=的值域是；4．函数y=+1的值域是；5．函数y=的值域是；6．函数y=的值域是7．已知：点P〔x,y是圆x2+y2=9上的动点。

求x+y的最大值8．函数的值域是9．函数的值域为．10若函数在上的最大值与最小值之差为2,则．11．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域〔11.解法1：将函数化为分段函数形式：,画出它的图象,由图象可知,函数的值域是{y|y3}解法2：〔几何法或图象法∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1,2的距离之和,∴易见y的最小值是3,∴函数的值域是[3,+]如图12．求函数的值域解：<换元法>设则 t0 x=1-代入得∵t0 ∴y413．某宾馆有相同标准的床位100张根据经验,当该宾馆每张床的床价不超过10元时,床位可以全部租出；当床价高于10元时,每提高一元,将有3张床位空闲为了获得较好的效益,该宾馆要给床位定一个合适的价格,条件是①为方便结算,床位应为1元的整数倍；②该宾馆每日的费用支出为575元,床位出租收入必须高于支出,而且高出得越多越好,若用x表示床价,用y表示该宾馆一天出租床位的净收入〔即除去每日的支出费用后的收入,<1>把y表示为x的函数,并求出定义域；<2>试确定该宾馆床价定为多少时,既符合上述条件,又能使净收入最多？2．<1>=<2>当x£10时,y£425;当x>10,则当x=22时,y有最大值约833元[题组二]1．若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为[-25/4,-4],则m的取值范围是[3/2,3]3．求下列函数的值域<1>y=<1-x2>/<1+x2>; <2>y=<1-2sinx>/<1+sinx> <1> <0,1>; <2> [-1/2,+¥]4．已知1/2£t£1,则2/t–t的最大值是7/2<单调性求最值>5．函数y= –x2–2ax<0£x£1>的最大值是a2,那么实数a的取值范围是–1£a£0<配方法求二次函数的最值>6．在区间[1/2,2]上函数f=x2+px+q与g=2x+1/x2在同一点取得相同的最小值,那么f在区间[1/2,2]上的最大值是4 ,平均值不等式求最值7．函数在上的最大值与最小值的和为,则 28．已知函数,,构造函数,定义如下：当时,,当时,,那么〔 B 有最小值,无最大值 有最小值,无最大值有最大值,无最小值 无最小值,也无最大值9. 函数 < D > <- < <-1,+ <-10.函数的值域是〔 D A．11. 函数的值域为。