男生追女生的超强数学建模分析.doc

男生追女生的超强数学建模分析 [日期：2005-4-2] 来源： 作者： [字体：大 中 小] 问题分析 男生追女生，对男生来说最重要的是学习、爱情两不误因此我们引进男生的学业成绩函数 Y(t) 首先，我们不考虑男生的追求攻势，则影响该函数的因素主要是两个人的关系程度为了便于分析，我们将两人的关系简化为女生对该男生的疏远度，于是引入疏远度函数 X(t) 问题就转化为求解 Y(t)和 X(t)的相互作用关系利用微分，很容易就可以求出两者的关系但现实中男生可能会对该女生发起一轮轮的追求攻势，因此还要考虑到追求攻势对模型的影响而追求攻势又与女生的疏远度有关，可以简化地将两者看成是正比关系将追求攻势加入到模型中，就可以找出攻势与 Y(t)和 X(t)的关系了 模型假设 1、t 时刻 A 君的学业成绩为 Y(t)； 2、t 时刻 B 女对 A 君的疏远度为 X(t)； 3、当 A 君没开始追求 B 女时 B 女对 A 君的疏远度增长（平时发现的 A 君的不良行为）符合 Malthus 模型，即 dX/dt=aX(t)其中 a 为正常数 4、当 Y(t)存在时，单位时间内减少 X(t)的值与 X(t)的值成正比，比例常数为 b，从而 dX(t)/dt=aX(t)-bX(t)Y(t)。

5、A 君发起对 B 女追求后，立即转化为 B 女对 A 君的好感，并设定转化系数为 α，而随着的 A 君发起对 B 女的追求，A 君学业的自然下降率与学业成绩成正比，比例系数为 e于是有 dY(t)/dt=αbX(t)Y(t)-eY(t) 模型构成 由假设 4 和假设 5，就得到了学业与疏远度在无外界干扰的情况下互相作用的模型： {dX(t)/dt=aX-bXY；dY(t)/dt=cXY-eY} 其中 c=αb. (1) 这是一个非线性自治系统，为了求两个数 X 与 Y 的变化规律，我们对它作定性分析令{aX-bXY=0；cXY-eY=0} 解得系统(1)的两个平衡位置为：O(0，0)，M (e/c，a/b)从(1)的两方程中消去 dt，分离变量可求得首次积分： F(X，Y)=cX-dln|X|-aln|Y|=k (2) 容易求出函数 F(X，Y)有唯一驻点为 M(e/c，a/b)再用极值的充分条件判断条件可以判断M 是 F 的极小值点同时易见，当 X→∞（B 女对 A 君恨之入骨）或 Y→∞ （A 君是一块只会学习的木头）时均有 F→∞；而 X→0（A 君作了变形手术， B 女对他毫无防备）或Y→0（A 君不学无术，丝毫不学习）时也有 F→∞。

由此不难看出，在第一象限内部连续的函数 z=F(X，Y)的图形是以 M 为最小值点，且在第一卦限向上无限延伸的曲面，因而它与 z=k(k＞0) 的交线在相平面 XOY 的投影 F(X，Y)=k (k＞0)是环绕点 M 的闭曲线簇这说明学业成绩和疏远度的指数成周期性变化 结果解释 从生态意义上看这是容易理解的，当 A 君的学习成绩 Y(t)下降时，B 女会疏远 A 君，疏远度 X(t)上升；于是 A 君就又开始奋发图强，学习成绩 Y(t)又上升了于是 B 女就又和 A 君开始了来往，疏远度 X(t)又下降了与 B 女交往多了，当然分散了学习时间，A 君的学习成绩 Y(t)下降了 然而我们可证明，尽管闭轨线不同，但在其周期内的 X 和 Y 的平均数量都分别是一常数，而且恰为平衡点 M 的两个坐标事实上，由(1)的第二个方程可得： dY/Ydt=cX- e，两端在一个周期时间 T 内积分，得： ∫(dy/Ydt)dt=c∮Xdt-dT (3) 注意到当 t 经过一个周期 T 时，点(X ，Y)绕闭轨线运行一圈又回到初始点，从而：∫(dY/Ydt)dt=∮dY/Y=0所以，由(3)式可得：( ∫Xdt)/T=e/c。

同理，由(1)的第一个方程可得：( ∫Ydt)/T=a/b 模型优化 考虑到追求攻势对上述模型的影响设追求攻势与该时刻的疏远度成正比，比例系数为h，h 反映了追求攻势的作用力在这种情况下，上述学业与疏远度的模型应变为： {dX/dT=aX-bXY-hX=(a-h)X-bXY；dY/dt=cXY-eY-hY=cXY-(e+h)Y} (4) 将(4)式与(1)式比较，可见两者形式完全相同，前者仅是把(1)中 X 与 Y 的系数分别换成了a-h 与 e+h因此，对(4) 式有 x’=(∫Xdt)/T=(e+h)/c，y’=(∫Ydt)/t=(a-h)/b (5) 利用(5)式我们可见：攻势作用力 h 的增大使 X’增加，Y’减少 我们的建议 考试期间，由于功课繁忙，使得追求攻势减少，即 h 减小，与平时相比，将有利于学业成绩 Y 的增长这就是 Volterra 原理 此原理对男生有着重要的指导意义：强大的爱情攻势有时不一定能达到满意的效果，反而不利与学业的成长；有时通过慢慢接触，慢慢了解，再加上适当的追求行动，女生的疏远度就会慢慢降低学习成绩也不会降低！。