高等数学和教学大纲.doc

《高等数学（I）和（II）》教学大纲课程代号：081101/081102　　　　学时数：150～170　　　　学分数：适用专业：全院工科各专业一、本课程的地位,任务和作用高等数学是人们从事高新技术，知识创新中必不可少的工具，它的内容、思想、方法和语言已广泛渗入自然科学和社会科学，成为现代文化的重要组成部分21世纪是信息时代，它不仅给人类生活带来日新月异的变化，也给高等数学课程的教学增添了新的内函高等数学是高等工程院校的一门重要的基础课，通过学习使学生受到必要的高等数学教育,使其具有一定的数学素养，为后续课程学习及今后的应用打下良好的数学基础二.、本课程的相关课程后续课程：大学物理、概率论与数理统计等三、本课程的基本内容及要求第一章　函数,极限,连续教学内容函数的概念及表示法,函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性,复合函数,反函数,隐函数,基本初等函数的性质及其图形,初等函数,应用问题的函数关系的建立,数列极限与函数极限的定义及性质,函数的左、右极限,无穷小与无穷大的概念,无穷小的性质及其比较,极限的四则运算,极限存在的两个准则,两个重要极限函数连续的概念,间断点的类型, 初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质.教学要求１．理解函数的概念,掌握表示法.２．了解函数的有界性,单调性,周期性,奇偶性.３．理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数,隐函数概念.４．掌握简单初等函数的性质及其图形.５．会建立简单应用问题的函数关系式.６．理解数列极限与函数极限的概念.理解函数的左、右极限概念及极限存在和左、右极限的关系.７．掌握极限的性质,极限的四则运算法则.８．掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限, 基本掌握利用"两个重要极限"求极限方法.９．理解无穷小与无穷大的概念. 掌握无穷小比较方法,会用等价无穷小求极限.１０．理解函数连续的概念,会判别函数间断点的类型.１１．了解连续函数的性质,初等函数的连续性, 理解闭区间上连续函数的性质并会利用这些性质.第二章　一元函数微分学教学内容导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义，函数的可导性与连续性之间的关系，平面曲线的切线和法线，基本初等函数的导数，导数和微分的四则运算，复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法，高阶导数的概念，某些简单函数n阶导数，一阶微分形式的不变性，微分在近似计算中的应用，罗尔（Rolle）定理，拉格朗日（Lagrange）中值定理，柯西（Cauchy）中值定理，泰勒（Taylor）展开定理，洛比达（L'Hospital）法则，函数的极值及其求法，函数单调性，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线，函数图形的描绘，函数最大值和最小值的及其简单应用，弧微分，曲率半径，方程近似解的二分法和切线法。

教学要求１．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述简单物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系２．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数求导公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分，初步了解微分在近似计算中的应用３．了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数４．会求分段函数的导数５．会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数６．理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，初步了解泰勒定理７．了解柯西中值定理８．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用９．会利用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，会求函数图形的水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形１０．掌握用洛比达法则求未定式极限的方法１１．了解弧微分的概念及其计算公式,了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径.１２．了解求方程近似解的二分法和切线法第三章　一元函数积分学教学内容原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式，定积分的概念和基本性质，定积分中值定理，变上限定积分定义的函数及其导数，牛顿——莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式，不定积分和定积分的换元积分与分部积分方法，有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分，广义积分的概念和计算，定积分的近似计算法，定积分的应用。

教学要求（１）理解原函数概念，理解不定积分和定积分的概念２）掌握不定积分的基本公式，理解不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元法和分部积分法３）会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分４）理解变上限定积分定义的函数及其求导定理，掌握牛顿——莱布尼茨公式５）了解广义积分的概念并会计算简单广义积分６）了解定积分近似计算法７）掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平面截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等 ）第四章　数学实验一教学内容认识Mathematica符号计算系统(一)教学要求了解以下命令,并以实例验证:（１）expr/.lhsàrhs（求函数值）（２）Expand[expn]（展开多项式）（３）Collect[p,y](按多项式幂次排多项式)（４）Solve[eqns,{……}](求方程及方程组的解)（５）Limit[expr,](求极限)　a) Limit[expr,,Direction1](求右极限)　b) Limit[expr, ,Direction-1](求左极限)（６）D[(求导数及N阶导数)（７）Series[](函数泰勒展开)（８）FindMinimum[](求极小值)（９）Plot[](画二维图形)（１０）Mathematica中不定积分,定积分的求法.笫五章　向量代数和空间解析几何教学内容向量的概念，向量的线性运算，向量的数量积和向量积的概念及运算，两向量垂直、平行的条件，两向量的夹角，向量的坐标表达式及其运算，单位向量，方向数与方向余弦，曲面方程和空间曲线方程的概念，平面方程、直线方程，平面与平面、平面与直线、直线与直线的平行、垂直的条件和夹角，点到平面和点到直线的距离，球面,母线平行于坐标轴的柱面,旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程,常用的二次曲面方程及其图形,空间曲线的参数方程和一般方程,空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.教学要求１．理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

２．掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），掌握两个向量垂直、平行的条件３．掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法４．掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题５．理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程６．了解空间曲线的参数方程和一般方程７．了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程 笫六章　多元函数微分学教学内容多元函数的概念，二元函数的几何意义，二元函数极限和连续的概念，有界闭区域多元连续函数的性质，多元函数偏导数和全微分的概念，全微分存在的必要条件和充分条件，全微分在近似计算中的应用，多元复合函数、隐函数的求导法，二阶偏导数，方向导数和梯度的概念及其计算，空间曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线，二元函数的最大值、最小值及其简单应用教学要求１．理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义２．了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质３．理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性，了解全微分在近似计算中的应用。

４．理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法５．掌握多元复合函数偏导数的求法６．会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数７．了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们方程８．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题第七章　多元函数积分学教学内容二重积分、三重积分的概念及性质，二重积分与三重积分的计算和应用，两类曲线积分的概念、性质及计算，两类曲线积分的关系，格林（Green）公式，平面曲线积分与路径无关的条件，已知全微分求原函数，两类曲面积分的概念、性质及计算，两类曲面积分的关系，高斯（Gauss）公式，斯托克斯（Stokes）公式，散度、旋度的概念及计算，曲线积分和曲面积分的应用教学要求（１）理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理２）掌握二重积分（直角坐标系、极坐标系）的计算方法，会计算三重积分（直角坐标系、柱面坐标、球面坐标）３）理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

４）掌握计算两类曲线积分的方法５）掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数６）了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分７）了解散度与旋度的概念，并会计算８）会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）第八章　无穷级数教学内容常数项级数的收敛与发散的概念，收敛级数的和的概念，级数的基本性质与收敛的必要条件，几何级数与p级数以及它们的收敛性，正项级数的比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法，交错级数与莱布尼茨定理，任意项级数的绝对收敛与条件收敛，函数项级数的收敛域与和函数的概念，幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域，幂级数的和函数，幂级数在其收敛区间内的基本性质，简单幂级数的和函数的求法，函数可展开为泰勒级数的充分必要条件，的麦克劳林（Maclaurin）展开式，幂级数在近似计算中的应用，函数的傅里叶级数，狄利克雷（Ｄirichlet）定理，函数在[-π,π]和［－Ｌ，Ｌ］上的傅里叶级数，函数在[0, π]和［０，Ｌ］上的正弦级数和余弦级数。

教学要求１．理解常数项级数的收敛、发散以及收敛级数的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件２．掌握几何级数与Ｐ级数的收敛与发散的条件３．掌握正项级数的比较审敛法和比值审敛法，会用根值审敛法４．掌握交错级数的莱布尼茨定理５．理解任意项级数的绝对收敛与条件收敛的概念，了解绝对收敛与条件收敛的关系６．了解函数项级数收敛域与和函数的概念７．掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛区域的求法８．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在其收敛区间内的和函数，并会由此求某些数项级数的和９．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件１０．掌握的麦克劳林展开式，并会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数１１．了解幂级数在近似计算上的简单应用１２．了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-π,π]和［－Ｌ，Ｌ］上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0, π]和［０，Ｌ］上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。