2022年《离散型随机变量的均值与方差》导学案.pdf

第 6 课时离散型随机变量的均值与方差1.理解离散型随机变量的均值(或期望 )与方差的意义.2.会求离散型随机变量的均值、方差,并能对结果作出判断与选择.在一次选拔赛中 ,甲、乙两射手在同一条件下进行射击,分布列如下 :射手甲击中环数8,9,10 的概率分别为 0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8,9,10 的概率分别为0.4,0.2,0.4.如果你是教练 ,如何比较两名射手的射击水平,选拔谁呢 ?通过本节课的学习,我们就会得到答案.问题 1:离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为 : Xx1x2xixnPp1p2pipn则称E(X)= 为随机变量X的均值或,它反映了离散型随机变量取值的. 称D(X)= 为随机变量X的方差 ,它刻画了随机变量X与其均值E(X)的,其算术平方根为随机变量X的. 问题 2:利用方差判断随机变量的离散程度的标准方差越,波动性越,即离散程度越;方差越,波动性越,即离散程度越. 问题 3: 两点分布 :设变量X只取 0,1 两个值 ,并且P(X=0)=1-p, P(X=1)=p,则E(X)= ,D(X)= . 问题 4:(1) 若随机变量X服从参数为n,p的二项分布 ,即XB(n,p),则E(X)= ,D(X)= . (2)若随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布 ,则E(X)= . 1.样本中共有五个个体,其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1,则样本方差为 ().A.B.C.D.2 2.已知某一随机变量X的分布列如下 ,且E(X)=6.3,则a的值为 ().X4a9P0.50.1bA.5 B.6 C.7 D.8 3.已知随机变量X的概率分布如下表: X-101P则X的方差为. 4.签盒中有编号为1、2、3、4、5、6 的六支签 ,从中任意取 3 支,设X为这 3 支签的号码之中最大的一个,求X的数学期望.离散型随机变量的均值根据历次比赛或者训练记录,甲、乙两名射手在同样的条件下进行射击,成绩分布如下 : 射手8 环9 环10 环甲0.30.10.6乙0.20.50.3试比较甲、乙两名射手射击水平的高低.离散型随机变量的方差若随机事件A在 1 次试验中发生的概率为p(0pE(Y),这就是说甲射击所得的环数的数学期望比射手乙稍高一些,所以甲的射击水平高一些.【小结】 离散型随机变量均值的实际意义是其取值的平均程度,在实际问题中这个平均程度能给我们的决策等提供一定的帮助,能对一些问题作出判断.探究二 :【解析】随机变量X的所有可能取值为0,1,并且有P(X=1)=p,P(X=0)=1-p.从而E(X)=0(1-p)+1p=p, D(X)=(0-p)2(1-p)+(1-p)2p=p -p2.(1)D(X)=p-p2=-(p2-p+)+ =-(p-)2+,0p1,当p=时,D(X)取得最大值 ,最大值为.(2) =2-(2p+),0p1,2p+ 2.当 2p=,即p=时取等号.因此 ,当p=时,取得最大值2-2.【小结】本题考查了随机变量的分布列、期望、方差等与其他知识的联系,要求对两点分布的分布列、期望、方差公式运用熟练.探究三 :【解析】E(X1)=00.7+10.2+20.06+30.04=0.44, E(X2)=00.8+10.06+20.04+30.10=0.44, E(X1)=E(X2).又D(X1)=(0-0.44)20.7+(1-0.44)20.2+(2-0.44)20.06+(3-0.44)20.04=0.6064, D(X2)=(0-0.44)20.8+(1-0.44)20.06+(2-0.44)20.04+(3-0.44)20.10=0.9264, D(X1) D(X2),故A机床加工较稳定、质量较好.【小结】E(X)是一个常数 ,由随机变量X的概率分布唯一确定,即随机变量X是可变的 ,而E(X)是不变的,它描述X取值的平均状态.随机变量的方差和标准差既反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度,方差或标准差越小 ,则随机变量偏离于均值的平均程度越小,也反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.思维拓展应用应用一 :(1)由于 1 件产品的利润为X,则X的所有可能取值为6,2,1,-2,由题意知P(X=6)=0.63,P(X=2)=0.25,P(X=1)=0.1,P(X=-2)=0.02.故X的分布列为 : X621-2P0.63 0.250.10.02(2)1 件产品的平均利润为E(X)=60.63+20.25+10.1+(-2)0.02=4.34( 万元 ).应用二 :(1)X的分布列为 : X01P0.40.6则E(X)=00.4+10.6=0.6, D(X)=(0-0.6)20.4+(1-0.6)20.6=0.24.(2)Y服从二项分布 ,即YB(5,0.6), E(Y)=np=50.6=3,D(Y)=50.60.4=1.2.应用三 :由题意得E(X甲)=80.2+90.6+100.2=9, D(X甲)=(8-9)20.2+(9-9)20.6+(10-9)20.2=0.4; 同理有E(X乙)=9,D(X乙)=0.8.由上可知E(X甲)=E(X乙),D(X甲)D(X乙).所以 ,可以看出甲、乙两名射手所得的平均环数很接近,均在 9环左右 ,但甲所得环数较集中,以 9 环居多 ,而乙得环数较分散,得 8、10 环的次数多些.基础智能检测1.D由E(X)=np=8,D(X)=np(1-p)=1.6,得n=10,p=0.8.2.CXB(10,),D(X)=np(1-p)=10 = .3.由题意知解得4.解:成绩的均值为E(Y)=E(2X)=2E(X)=2500.8=80(分); 成绩的标准差为=2=4 (分).全新视角拓展(1)X可能的取值为10,20,100,-200.根据题意有 : P(X=10)=( )1(1-)2=, P(X=20)=( )2(1-)1=, P(X=100)=( )3(1-)0=, P(X=-200)=( )0(1-)3=, 所以X的分布列为 : X1020100-200P(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i=1,2,3), 则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)= .所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1-P(A1A2A3)=1-( )3=1-=.因此 ,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.(3)X的数学期望为E(X)=10 +20 +100 -200 =- .这表明 ,获得分数X的均值为负 , 因此 ,多次游戏之后分数减少的可能性更大.思维导图构建平均水平平均偏离程度p p(1-p)np np(1-p) 。