精编绝对值知识点及练习.docx

确定值学问点及练习1、定义：（1）几何定义：一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做 a 的确定值，记作｜ a｜ , 读作“确定值 a”；（ 2）代数定义： 一个正数的确定值是它本身； 一个负数的确定值是它的相反数； 0的确定值是 0. 实数 a 的确定值是： |a|① a 为正数时， |a|=a〔 不变 〕② a 为 0 时， |a|=0③ a 为负数时， |a|= -a〔 为 a 的确定值 〕任何数的确定值都大于或等于 0，由于距离没有负的； 2、实数的确定值具有以下性质：〔1〕|a| 大于等于 0〔 实数的确定值是非负实数 〕;〔2〕|-a|=|a|〔 互为相反数的两实数确定值相等 〕; 〔3〕-|a| 小于等于 a 小于等于 |a|;〔4〕|a|>b 可以推出 a<-b 或 a>b ，a<-b 或 a>b 可以推出 |a|>b;〔5〕|a b|=|a| |b|;〔6〕|a|/|b|=|a/b|〔b ≠0〕;〔7〕|a+b| 小于等于 |a|+|b| ，当且仅当 a 、b 同号时，等式成立 ; 〔8〕|a-b| 大于等于 ||a|-|b|| ，当且仅当 a 、b 同号时，等式成立 ;〔9〕a 属于 R 时， |a| 的平方等于 |a| 的平方；特殊提示：（ 1）确定值具有非负性，即 |a | ≥ 0；（ 2）确定值相等的两个数，它们相等或互为相反数；（ 3）0 是确定值最小的有理数；3、利用确定值比较大小(1) 利用确定值比较两个负数的大小两个负数比较大小，确定值大的反而小．比较的具体步骤：①先求两个负数的确定值；②比较确定值的大小；③依据 “两个负数，确定值大的反而小 ”作出判定．(2) 几个有 理数的大小比 较①同号两数， 可以依据它们的确定值来比较： a. 两个正数， 确定值大的数较大； b. 两个负数，确定值大的反而小．②多个有理数的大小比较，需要先将它们依据正数、 0、负数分类比较，然后利用各数的确定值或借助于数轴来进一步比较．4、利用确定值解决实际问题确定值的产生来源于实际问题的需要， 反过来又可以运用它解决一些实际问题， 主要有以下两类：(1) 判定物体或产品质量的好坏可以用确定值判定物体或产品偏离标准的程度，确定值越小，越接近标准，质量就越好．方法：①求每个数的确定值；②比较所求确定值的大小；③依据 “确定值越小，越接近标准 ”作出判定．(2) 利用确定值求距离路程问题中，当显现用 “＋ ”、“－ ”号表示的带方向的路程，求最终的总路程时，实际上就是求确定值的和．方法：①求每个数的确定值；②求全部数的确定值的和；③写出答案．5、去确定值符号的几种常用方法：（1） 利用定义法去掉确定值符号x〔x 0〕 c x c〔c 0〕根 据 实 数 含 绝 对 值 的 意 义 ， 即 | x |=x〔x0〕 ， 有 | x |< c〔c 0〕 ；x c或x c〔c 0〕x 0〔c 0〕| x |> cx R〔c 0〕（2） 利用不等式的性质去掉确定值符号利用不等式的性质转化 | x |< c 或 | x |> c 〔 c >0〕 来解，如 | ax b |> c 〔 c >0〕 可为 ax b > c 或ax b <－ c ；| ax b |< c 可化为－ c < ax + b < c ，再由此求出原不等式的解集；对于含确定值的双向不等式应化为不等式组求解， 也可利用结论“ a ≤ | x |≤ b a ≤ x ≤b 或－ b ≤ x ≤－ a ”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法；（3） 利用平方法去掉确定值符号对于两边都含有 “单项” 确定值的不等式，利用 | x | 2 =x2 可在两边脱去确定值符号来解， 这样解题要比按确定值定义去争辩脱去确定值符号解题更为简捷， 解题时仍要留意不等式两边 变量与参变量的取值范畴， 假如没有明确不等式两边均为非负数， 需要进行分类争辩， 只有不等式两边均为非负数 〔式〕时，才可以直接用两边平方去掉确定值，特殊是解含参数不等式时更必需留意这一点；〔4〕 利用零点分段法去掉确定值符号所谓零点分段法，是指：如数x1 ，x2 ， ，xn 分别使含有 | x － x1 |，| x － x2 |， ， | x－ xn |的代数式中相应确定值为零，称x1 ， x2 ， ，xn 为相应确定值的零点，零点x1 ，x2 ， ，xn 将数轴分为 m +1 段，利用确定值的意义化去确定值符号， 得到代数式在各段上的简化式， 从而化为不含确定值符号的一般不等式来解， 即令每项等于零， 得到的值作为争辩的分区点， 然后再分区间争辩确定值不等式， 最终应求出解集的并集； 零点分段法是解含确定值符号的不等式的常用解法，这种方法主要表达了化归、分类争辩等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化；〔5〕 利用数形结合去掉确定值符号解确定值不等式有时要利用数形结合， 利用确定值的几何意义画出数轴， 将确定值转化为数轴上两点间的距离求解； 数形结合法较为形象、直观，可以使复杂问题简洁化，此解法适用于 | x a | | x b |m 或 | x a | | x b |m 〔 m 为 正 常 数 〕 类 型 不 等 式 ； 对| ax b | | cx d |m 〔或 < m 〕，当 | a |≠ | c |时一般不用；1、对于形如︱ a︱的一类问题只要依据确定值的 3 个性质，判定出 a 的 3 种情形，便能快速去掉确定值符号；当 a>0 时，︱ a︱=a 〔性质 1，正数的确定值是它本身 〕 ；当 a=0 时︱ a︱=0 〔 性质 2， 0 的确定值是 0〕 ；当 a<0 时；︱ a︱=–a 〔性质 3，负数的确定值是它的相反数 〕 ；2、对于形如︱ a+b︱的一类问题我们只要把 a+b 看作是一个整体， 判定出 a+b 的 3 种情形， 依据确定值的 3 个性质， 便能快速去掉确定值符号，正确进行化简；当 a+b>0 时，︱ a+b︱=a +b〔性质 1，正数的确定值是它本身 〕 ；当 a+b=0 时，︱ a+b︱ =0 〔性质 2， 0 的确定值是 0〕 ；当 a+b<0 时，︱ a+b︱=–〔a+b〕= –a-b 〔性质 3，负数的确定值是它的相反数 〕 3、对于形如︱ a-b︱的一类问题同样，按上面的方法，我们仍然把 a-b 看作一个整体，判定出 a-b 的 3 种情形，依据确定值的 3 个性质，去掉确定值符号；但在去括号时最简洁显现错误； 如何快速去掉确定值符号， 条件特殊简洁， 只要你能判定出a 与 b 的大小即可；由于︱大 -小︱ =︱小 -大︱ =大-小，所以当 a>b 时，︱ a-b︱=a-b, ︱b-a︱=a-b.请记住口诀：无论是大减小，仍是小减大，去掉确定值，都是大减小；4、对于数轴型的一类问题，依据 3 的口诀来化简，更快捷有效；如︱ a-b︱的一类问题，只要判定出 a 在 b 的右边，便可 得 到 ︱ a-b ︱ =a-b, ︱ b-a ︱ =a-b ；5、对于确定值号里有三个数或者三个以上数的运算万变不离其宗， 仍是把确定值号里的式子看成一个整体， 把它与 0 比较， 大于 0 直接去确定值号，小于 0 的整体前面加负号；练习一、选择1、确定值为 4 的有理数是（ ） A. 4 B. 4 C. -4 D. 22、两个数的确定值相等，那么（ ） A. 这两个数确定是互为相反数； B.这两个数确定相等； C.这两个数确定是互为相反数或相等； D.这两个数没有确定的关系 3、确定值小于 4 的整数有（ ） A.3 个 B.5 个 C.7 个 D.8 个4、确定值与相反数都是它的本身（ ）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D. 不存在5、如 m 为有理数，且 那么 m 是（ ） A. 非整数 B. 非负数 C.负数 D.不为零的数6、以下说法中，错误选项（ ） A、一个数的确定值确定是正数 B 、互为相反数的两个数的确定值相等 C、确定值最小的数是 0 D 、确定值等于它本身的数是非负数 7、以下结论中，正确的有（ ）①符号相反且确定值相等的数互为相反数； ②一个数的确定值越大， 表示它的点在数轴上离原点越远；③两个负数，确定值大的它本身反而小；④正数大于一切负数；⑤在数轴上，右边的数总大于左边的数 . A、2 个 B、3 个 C 、4 个 D 、5 个8、一个数的确定值是它本身，那么这个数是（ ）（A ）正数 （ B）正数或零 （ C ）零 （D ）有理数9、假如一个数的确定值是 5.2 ，那么这个数是（ ）（A ） 5.2 （B ）－ 5.2 （ C ） 5.2 或－ 5.2 （ D ）以上都不对 10 、任何有理数的确定值都是（ ）（A ）正数 （ B）负数 （ C）有理数 （D ）正数或零11、在－（－ 8 ）， |－ 1| ，－ |0| ，－ 0 .0001 这四个有理数中，负数共有（ ）（A ） 4 个 （ B ）3 个 （ C） 2 个 （ D） 1 个12 、在数轴上和表示－ 3 的点的距离等于 5 的点所表示的数是（ ）（A ）－ 8 （ B ） 2 （ C ）－ 8 和 2 （ D ）113 、9 与－ 1 3 的确定值的和是（ ）（A ） 22 （ B）－ 4 （ C） 4 （D ）－ 2214 、数－ |－ 3 | 的相反数是（ ）（A ）－ 3 （ B） （ C ）3 （ D） 315、 设 a 是最小的正整数， b 是最大的负整数， c 是确定值最小的有理数，就 a + b + c 等于 （ ）A － 1 B 0 C 1 D 2二、填空（1 ）正数的确定值是 ，负 数的确定值是 ，零的确定值是 ，确定值等于 1的有理数是 ．（2 ）从数轴上看，一个数的确定值就是表示这个数离开原点的 ．（3 ） 49 是 的相反数，它是 的确定值．（4 ） |－ 5| 的相反数是 ．（5 ）假如一个数的确定值等于 那么这个数是 ．（6 ）绝 对值小于 3.14 的全部整数是 ．（7） -3 的确定值是 ，确定值是 3 的数是 .（8）一个数 a 在数轴上的对应点在原点的左侧，且 ，就︱ a︱= .（9 ）确定值最小的数是 ；最大的负整数是 ．（10 ）确定值小于 3 的全部自然数是 ．（11 ）一个有理数的相反数小于原数，这个数是 ．(12) 已知︱ x︱－︱ y︱ =2，且 y = － 4 ，就 x = ；(13) 已知︱ x︱ =2 ，︱ y︱=3 ，就 x +y = ；(14) 已知 ︱x +1 ︱与 ︱y －2 ︱互为相反数，就︱ x ︱+︱ y︱= ；(15) 式。