（江苏专版）高考数学分项版解析专题10立体几何.doc

专题10 立体几何一．基础题组1. 【2005江苏，理4】在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，AA1=1则点A到平面A1BC的距离为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】BCA1B1C1MNA2. 【2005江苏，理8】设为两两不重合的平面，l,m,n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若则∥；②若∥∥则∥；③若∥则∥；④若∥则m∥n.其中真命题的个数是（A）1 （B）2 （C）3 （D）4【答案】B【解析】（1）由面面垂直知，不正确；（2）由线面平行判定定理知，缺少m、n相交于一点这一条件，故不正确；（3）由线面平行判定定理知，正确；（4）由线面相交、及线面、线线平行分析知，正确综上所述知，（3），（4）正确，故选B. 3. 【2006江苏，理9】两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有 （ ）（A）1个　　　　　（B）2个（C）3个　　　　　（D）无穷多个 4. 【2007江苏，理4】已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：①m∥n，m⊥αn⊥α；②α∥β，mα，nβm∥n；③m∥n，m∥αn∥α；④α∥β，m∥n，m⊥αn⊥β.其中正确命题的序号是 （ ）A.①、③ B.②、④ C.①、④ D.②、③【答案】C【解析】解：用线面垂直和面面平行的定理可判断①④正确；②中，由面面平行的定义，m，n可以平行或异面；③中，用线面平行的判定定理知，n可以在α内；故选C.5. 【2007江苏，理14】正三棱锥P－ABC的高为2，侧棱与底面ABC成45角，则点A到侧面PBC的距离为__________.【答案】【解析】 6. 【2009江苏，理12】设和为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；（3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；（4）直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直。

上面命题中，真命题的序号 ▲ （写出所有真命题的序号）. 7. 【2012江苏，理7】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则四棱锥A－BB1D1D的体积为__________cm3.【答案】6【解析】由已知可得，VABB1D1D＝VA1D1B1ADB＝VA1B1C1D1ABCD＝332＝6(cm3)．8. 【2013江苏，理8】如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2＝__________.【答案】1∶24【解析】由题意可知点F到面ABC的距离与点A1到面ABC的距离之比为1∶2，S△ADE∶S△ABC＝1∶4.因此V1∶V2＝＝1∶24.. 9. 【2014江苏，理8】设甲，乙两个圆柱的底面面积分别为，体积为，若它们的侧面积相等且，则的值是 .【答案】【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为，，则，，又，所以，则.10. 【2015江苏高考，16】（本题满分14分）如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为，.求证：（1）；（2）.ABCDEA1B1C1 二．能力题组1. 【2008江苏，理16】如图，在四面体中，，点分别是的中点．求证：（1）直线面；（2）平面面．ABCDEF2. 【2009江苏，理16】如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点，点在上，。

求证：（1）EF∥平面ABC；（2）平面平面.【答案】（1）详见解析； （2）详见解析【解析】.3. 【2010江苏，理16】如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90.(1)求证：PC⊥BC；(2)求点A到平面PBC的距离．【答案】(1)详见解析；(2) 【解析】解：(1)因为PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC.V＝S△ABCPD＝.因为PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC.又PD＝DC＝1，所以PC＝＝.由PC⊥BC，BC＝1，得△PBC的面积S△PBC＝，由V＝S△PBCh＝h＝，得h＝.因此，点A到平面PBC的距离为..4. 【2011江苏，理16】如图，在四棱锥中，平面平面，,,分别是的中点求证:（1）直线平面;(2) 平面平面FPACDEB 5. 【2012江苏，理16】如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.【答案】(1) 详见解析；(2) 详见解析【解析】证明：(1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD．又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1. 6. 【2013江苏，理16】)如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.【答案】(1)详见解析；(2)详见解析【解析】证明：(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB. 7. 【2014江苏，理16】如图在三棱锥中，分别为棱的中点，已知，求证（1）直线平面；（2）平面平面.【答案】证明见解析．【解析】试题分析：（1）本题证明线面平行，根据其判定定理，需要在平面内找到一条与平行的直线，由于题中中点较多，容易看出，然后要交待在平面外，在平面内，即可证得结论；（2）要证两平面垂直，一般要证明一个平面内有一条直线与另一个平面垂直，由（1）可得，因此考虑能否证明与平面内的另一条与相交的直线垂直，由已知三条线段的长度，可用勾股定理证明，因此要找的两条相交直线就是，由此可得线面垂直.试题解析：（1）由于分别是的中点，则有，又，，所以．（2）由（1），又，所以，又是中点，所以，，又，所以，所以，是平面内两条相交直线，所以，又，所以平面平面．8. 【2015江苏高考，9】现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。

若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 三．拔高题组1. 【2005江苏，理21】如图，在五棱锥S－ABCDE中，SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=2,BC=DE=,∠BAE=∠BCD=∠CDE=120.（Ⅰ）求异面直线CD与SB所成的角（用反三角函数值表示）；（Ⅱ）证明BC⊥平面SAB；（Ⅲ）用反三角函数值表示二面角B-SC-D的大小（本小问不必写出解答过程）.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ） EFDCBAS（2）由题意，是等腰三角形，，所以又,,所以,,(3)二面角B-SC-D的大小为:另解法---向量解法: EFDCBASzyx则A（0，0，0）， B（2，0，0） S（0，0，2），且C（2，，0）D(,于是则所以异面直线CD与SB所成的角为：(2), 2. 【2006江苏，理19】在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）将△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）（Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP；（Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；（Ⅲ）求二面角B－A1P－F的大小（用反三角函数表示）图1图2【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）600；（Ⅲ）【解析】 A1E=1,在Rt△A1EQ中，,∴∠EA1Q=60o, ∴直线A1E与平面A1BP所成的角为600（3）在图3中，过F作FM⊥ A1P与M，连结QM,QF,∵CP=CF=1, ∠C=600,∴△FCP是正三角形，∴PF=1.有∴PF=PQ①,∵A1E⊥平面BEP, ∴A1E=A1Q,∴△A1FP≌△A1QP从而∠A1PF=∠A1PQ②,由①②及MP为公共边知△FMP≌△QMP,∴∠QMP=∠FMP=90o,且MF=MQ, 3. 【2007江苏，理18】如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE=FC1=1.（1）求证：E、B、F、D1四点共面；（4分）（2）若点G在BC上，BG＝，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥平面BCC1B1；（4分）（3）用θ表示截面EBFD1和侧面BCC1B1，所成的锐二面角的大小，求tanθ.（4分）【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）【解析】解法一：（1）如图，在DD1上取点N，使DN=1，连结EN，CN，则AE=DN=1，CF=ND1=2.因为AE∥DN，ND1∥CF，所以四边形ADNE、CFD1N都为平行四边形.从而ENAD，FD1∥CN.又因为ADBC，所以ENBC，故四边形BCNE是平行四边形，由此推知CN∥BE，从而FD1∥BE.因此，E、B、F、D1四点共面. MH=BMsin∠MBH=BMsin∠CFB=BM=1，tanθ=.解法二：（1）建立如图所示的坐标系，则=（3，0，1）， =（0，3，2）， =（3，3，3）.所以＝＋。

故、、共面又它们有公共点B，所以E、B、F、D1四点共面2）如图，设M（0，0，z），则＝（0， -，z），而＝（0，3，2），由题设得＝－3＋z2=0，得z=1因为M（0，0，1），E（3，0，1），有＝（3，0，0）.又＝（0，0，3）， ＝（0，3，0），所以＝0， ＝0，从而ME⊥BB1，ME⊥BC故tanθ=..4. 【2015江苏高考，22】（本小题满分10分）如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，,（1）求平面与平面所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长PABCDQ【答案】（1）（2）【解析】（2）因为，设（），又，则，又，从而．设，，则．当且仅当，即时，的最大值为．因。