工厂生产的最优设计模型.docx

摘要 本文利用线性规划知识建立数学模型，研究了在决策变量不同情况下，工厂 计划和收益的变化问题一属于简单的线性规划模型，直接利用 LINGO 软件求解 在求解问题二时，巧妙引入价格指数的概念，衡量价格变化与市场容量的关 系，依然用模型一分析了价格变化对工厂计划和收益的影响在问题三中，根据各机床的停工维修时间不确定，利用 0—1 模型原理对模 型一进行改进通过求解结果与问题一结果进行比较，讨论了停工时间灵活性的 价值关键词：线性规划，价格指数，收益，最优解问题重述某厂拥有 4 台磨床、2 台立式钻床、3 台卧式钻床、1 台镗床和 1 台刨床，用以生产7种产品，记作P至P工厂收益规定为产品售价减去原材料费用之 17剩余表一：每种产品单件的收益及所需各机床的加工工时（以小时计）产品P1P2P3P4P5P6P7收益106841193磨床0.50.7000.30.20.5立式钻床0.10.200.300.60卧式钻床0.200.80000.6镗床0.050.0300.070.100.08刨床000.100.0500.05本月（一月）和随后的 5 各月中，下列机床停工维修表二：各月机床的维修情况一月二月三月四月五月六月磨床1台卧式钻床2台镗床1台立式钻床1台磨床1台立式钻床1台卧式钻床1台刨床1台表三：各种产品各月份的市场容量产品P1P2P3P4P5P6P7一月5001000300300800200100二月6005002000400300150三月30060000500400100四月2003004005002000100五月010050010010003000六月500500100300110050060每种产品存货最多可到 100 件，存费为每件每月0.5 元。

现无存货，要求到 6 月底每种产品有存货 50 件工厂每周工作 6 天，每天 2 班，每班 8 小时不 需要考虑排队等待加工的问题1、为使收益最大，工厂应如何安排各月份各种产品的生产？2、研究市场价格的某种变化及引入新机床对计划和收益的影响3、若各机床的停工维修时间不作预先规定，而是选择最合适的月份维修 除磨床外，每台机床在这6 个月中的一个月必须停工维修；6 个月中 4 台磨床有 2 台需要维修扩展工厂计划模型，使得可以对灵活安排机床维修时间作出决策 停工时间的这种灵活性价值如何？二、模型假设1、忽略 1—6 月的天数差异，统一规定为每月为四周，28 天2、同种机床不存在性能差异；3、所有机床加工出的产品全部合格，无次品；4、用于产品的原材料的费用保持不变；5、每月末的存货量就是下月初的存货量；6、产品生产费与生产率无关，只取决于原材料费用三、符号说明a 表示 P 在 j 月的生产量；ij iB表示k类机床在j月的工作台数；kjC表示生产1件P需k类机床工作时间（小时）；ki iL 表示单件 P 的收益（元）； iie 表示 P 在 j 月的销售量（件） ij iD 表示 P 在 j 月的市场容量；ij iy 表示 P 在 j 月末的存货量； ij iS 表示工厂的总收益；其中 i 二 1,2,...7 , j 二 1,2,...6。

表四：k与机床一一对应的关系k12345机床类型磨床立式钻床卧式钻床镗床刨床四、问题的分析和模型的建立4.1 问题的分析从已知条件看，工厂总收益由产品销售量，产品售价，原材料费用，产品 总存费决定问题一中产品售价与原材料费用的变化不予以考虑，这样工厂总收 益就取决于产品的销售量和产品总存货量为使总收益最大，各种产品各月的销 售量应该等于市场的容量，即保证供求关系平衡这里的难点在于各种产品各月 的生产量和销售量，存货量的关系比较复杂，如何用线性规划模型加以处理是关 键所在问题二中，市场价格变化将对单件产品收益产生影响，目标函数也会随 之改变，通过对模型灵敏度分析，从而得到价格变化对计划和收益的影响的关系 引入机床的成本未知，各机床的成本也有差异，所以如果考虑到机床成本使模型 更复杂因为机床成本固定，机床工作时限较大，为了简化以便于求解，可忽略 机床成本，换句话说，机床在它工作时限内，创造的收益远远大于其成本引入 新机床可以提高工厂的生产能力，评估引进新机床对收益的提高与耗费成本之间 的关系，可以为工厂引进新机床提出合理策略在问题三中，由于各机床的停工 维修时间不作预先规定，而是选择最合适的月份维修，所以B将为变量。

可对 kj问题一的模型进行扩展，得到最合适的维修策略4.2 模型的建立模型一针对问题一，目的就是合理运用现有的资源生产以达到工厂的最大收益，制 定工厂的生产计划，显然这是一个线性规划问题，据此，建立数学模型决策目 标是工厂的总收益根据题设条件，可以得到目标的约束条件，进而得到目标函 数的最优解六个月的总收益是问题的目标函数，各月各种产品的生产量为控制变量每 月的产量、销售量和存储量（剩余量）三者之间存在平衡关系，比如对一月有 a -D = y，后几月有a +y -d =y，再考虑到每月月末的存货量有八 i1 i1 9 i （j—1） 9 ij限制，这就得到对产量限制的约束条件；每月每类机床应该保证提供充足的时间 来生产产品，由于每周工作时间为六天，所以每月的工作天数T = 24 （天）所以得到约束方程kj*8*2 >工aCij kii=1各变量都应满足非负条件，所以得到非负约束a > 0, y > 0 ij ij综上可得如下线性规划模型：目标函数（工厂总收益）约束方程组：S兀》(D *L -0.5* y )ij ii=1 j =1ija + y — D = yij i (j-1) ij jB *T*8*2 > 另a Ckj ij kii=11）。

< 0 < y < 100(15 j < 5)ijy = 50i6a >0, y > 0且取整数ij ij运用此模型，能够适用于问题一的求解，但在此模型中，产品售价与原材 料费用的变化不予以考虑，每月各类机床工作台数已确定，所以不能问题三的求 解在解决问题三时，需将每种产品单件的收益和每月各类机床工作台数设为变 量，对模型进行改进，由此得到模型二模型二对比问题一，问题三中的各类机床的维修时间为变量，这样导致 B 成为 kj取决于维修时间的变量设第j月，第k类机床维修台数为w ，每种机床总的 kj数目为 H ，再由已知条件得到对维修台数的约束条件kfZ w 二H （k 丰 i）kj kZw 二2i j问题三的目标函数仍为工厂的总收益，其它约束条件不变，综上得目标函数（工厂总收益）： S = IZ（D * L -0.5* y ），匸 i j=i j ' j约束方程组：〔工 W = H (k 丰 1)k j k为w = 21jW ^{0,1,2}kja + y - D = y© i (j- 1 ) © ij2）B *T * 8 *之工a Ckj ij kiB = H - w tkj k kj0 < y < 100 (1j < 5)ijy = 50i6a > 0,y >且取整数ij ij此模型适用于维修时间不确定问题。

五、模型的求解问题一的求解：由已知条件得，各种机床各月的工作台数为22211Bkj =13331011111114、2210丿根据附录，得到题中D 和C，的值，将上述数据带入方程组（1）中，运ij ki用 LINGO 软件求得：厂0—183 820000、100100001000100y =ij—200—500 00—40000000000000100 01000100、5050505050500丿(500817382300800200100 '7007831180500300250a =ij000004000400800400500600010001006001001100300100j 55055050350105055010丿观察结果，发现y , y，y，丁都小于0换句话说当月该产品销售量小于12 31 32 35市场容量，这与实际情况不服，说明目标函数不存在可行解所以必须对结果进 行调整，可以将负数置零，由于月末存货量与下月的生产量有关系，当其为负值 等效于下月对其产品的生产比求得结果少，在结合相应产品在下月存货没有负 值，所以可以直接将相应产品下个月的生产量分别减去y ,y，y ,y，这样保12 31 32 35证不会影响最优解，经整理得如下表：表五：在收益最大情况下，各种产品各月的生产量产品P1P2P3P4P5P6P7一月500817382300800200100二月7006001180500300250三月000004000四月2003004005002000100五月01006001001100300100六月55055050350105055010表六：在收益最大情况下，各种产品各月末的存货量产品P1P2P3P4P5P6P7一月00820000二月100100001000100三月0000000四月0000000五月0010001000100六月50505050505050最终得到最大收益S二116089 （元）问题二的求解根据经济学知识，销售价格的变化会导致产品的市场的容量市场的容量的变 化，工厂也会随之改变生产计划。

销售价格越高，考虑到消费者对价格的要求， 市场容量将越小，反之亦然为了研究市场价格的某种变化对计划和收益的影响， 所以引入价格上涨幅度Am （元）与市场容量D的关系指数f （定义为价格指数） /二（1£）2，当价格。