北师大版高中数学必修一第二章《函数》整合课件.pptx

本章整合,专题一,专题二,专题一 求函数最值的方法 一、观察法 当函数的解析式中仅含有x2或|x|或 时,通常利用常见的结论x2≥0,|x|≥0, ≥0等,直接观察并写出函数的最值. 应用1求函数y=|x|+1的最小值. 提示:利用绝对值的性质|x|≥0,结合不等式的性质求得最小值. 解:函数的定义域是R. ∵|x|≥0,∴|x|+1≥1. ∴函数y=|x|+1的最小值是1.,专题一,专题二,二、配方法 有关二次函数的值域或最值问题可用配方的方法.若函数定义域为R,则自变量取 时函数值最大或最小.若函数定义域为某个区间[a,b],当对称轴方程x=t在这个区间内时,则在f(a),f(b),f(t)中,最大者即为最大值,最小者即为最小值;当对称轴方程x=t不在这个区间内时,则只需比较f(a)与f(b),它们中较大者为最大值,较小者为最小值.,专题一,专题二,应用2求函数y=x2-2x-3,x∈[-2,5]的最值. 提示:这是二次函数在给定区间内求最值的问题,可用配方法,结合二次函数的图像来求. 解:y=x2-2x-3=(x-1)2-4,画函数图像的草图如图,当x∈[-2,5]时,函数图像的最高点为(5,12),最低点为(1,-4). 故所求函数的最大值为12,最小值为-4.,专题一,专题二,应用3已知函数f(x)=x2+ax+3在区间[-1,1]上的最小值为-3,求实数a. 提示:所给二次函数图像的对称轴为直线x= ,它是变化的,而区间[-1,1]是固定的,因而只需确定二次函数对称轴与区间[-1,1]的关系,即可求得a.,专题一,专题二,专题一,专题二,专题一,专题二,三、图像法 画出函数图像,最高点的纵坐标是函数的最大值,最低点的纵坐标是函数的最小值. 应用4函数y=|x+1|-|x-1|的最大值是 . 提示:化为分段函数,并画出其图像,利用图像求解.,由图可知,函数图像最高点的纵坐标为2, 则该函数的最大值为2. 答案:2,专题一,专题二,四、单调性法 先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值.常用到下面的结论:已知y=f(x)是定义在区间(a,c)上的函数,①如果函数y=f(x)在区间(a,b]上是增加的,在区间[b,c)上是减少的,则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);②如果函数y=f(x)在区间(a,b]上是减少的,在区间[b,c)上是增加的,则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b).,应用5求函数y=x2+ 的最值. 提示:该函数在定义域上是增加的,利用单调性求解. 解:函数y=x2+ 的定义域是[0,+∞),可以证明函数y=x2+ 在定义域内是增函数,则有f(x)≥f(0)=0+0=0,即函数y=x2+ 有最小值0,无最大值.,专题一,专题二,五、换元法 求形如 利用换元法转化为求二次函数等常见函数的最值问题,这种求最值的方法称为换元法.此时要注意换元后函数的定义域.,应用6求函数 的最大值.,专题一,专题二,专题二 抽象函数问题 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式,只是给出一些特殊关系式的函数,它是高中数学中的一个难点,高考中经常出现关于抽象函数的试题.因为抽象,解题时思维常常受阻,思路难以展开.抽象函数问题一般是由所给的性质,讨论函数的单调性、奇偶性、图像的对称性,或是求函数值、解析式等.主要处理方法是“赋值法”,通常是抓住函数特性,特别是定义域上的恒等式,利用变量代换解题. 应用函数f(x)对一切实数x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,试判断函数f(x)的单调性,并说明理由. 提示:可利用单调性的定义去求函数f(x)的单调性,设x2=(x2-x1)+x1,则有f(x2)=f(x2-x1)+f(x1),再根据x>0时,f(x)>0,即可判断其单调性.,专题一,专题二,解:方法一:设任意的x1,x2∈R,且x10. ∵x>0时,f(x)>0, ∴f(x2-x1)>0. 又f(x1)-f(x2)=f(x1)-f[(x2-x1)+x1]=f(x1)-f(x2-x1)-f(x1)=-f(x2-x1)0),则x10时,f(a)>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)