数学奥林匹克分类问题(印度,分为数论、组合、几何、代数、杂题.doc

印度数学奥林匹克问题Problem Primer for the Olympiad数论 1. 试找出一个最小的数，以十进制表示它的最末一个数字是 7若将最末的数字调到最先，得到的数值是原来的 5 倍 2. 若把所有的二位数从 19 到 93 顺序地写成数目 N=192021......919293，找出能整除 N 的 3 之最大幂指数 3. 若 x、y、z、n 为自然数且满足 xn + yn = zn，试证明 x、y、z 各数大于 n 4. 已知两个大于 1 的互质整数 m、n证明 log10m/log10n 是无理数 5. 试找出所有正整数 m、n 使得 2m+3n 为完全平方数 6. 设 a、b、x、y 是大于 1 的整数，若 a 和 b 为互质且 xa=yb试证存在一个大于 1 的整数 n 使得 x=nb 和 y=na 7. 证明对任何一个大于 1 的整数 n，证明 n4+4n 不是质数 8. 试找出所有的四位数满足以下条件： i. 它是个完全平方； ii. 首两个数字完全相同； iii. 末两个数字完全相同 9. 若 a、b、c 为任意的三个整数，证明 abc(a3 -b3 )(b3 -c3 )(c3 -a3 ) 能被 7 整除。

10. 试找出整数 2000C1000 的最大 3 位数字的质因子 11. 若 1/a + 1/b = 1/c 其中为无共因子的正整数，证明 (a+b) 是完全平方数 12. 证明存在一自然数 n 使得 以十进制表示 n! 恰有 1993 个“0” 在未位 13. 试找出当 21990 被 1990 除后的余数 14. 试找出所有的非负整数对 (x、y) 满足等式 (xy - 7)2=x2+y2 15. 试找出并予以证明，所有的正整数 n 满足以下条件： i. n 不是完全平方数 ii. [√n] 3 整除 n2 ，其中[x]表示比 x 小或等于 x 的最大的整数 16. 证明 4 个连续的自然数不能为完全立方数 17. i. 试找出所有的正整数 n 使得 3n+1 整除 2m +1 其中 m=3n ii. 对任何正整数 n ，证明 3n+2 不能整除 2m +1 其中 m=3n 18. 对任何正整数 n，定义 s(n) 为满足 1/x + 1/y = 1/n 的正整数有序对 (x、y) 的总数例如 s(2)=3试找出所有满足 s(n)=5 的正整数 n 所组成的集合 19. 对一正整数 n，定义 A(n)= (2n)!/(n!)2。

试找出分别满足以下条件的正整数 n 所组成的集合： i. A(n) 是个偶数； ii. A(n) 是 4 的倍数 代数 20. 试找出下列无穷数列的最大数目：1，2√2，3√3，.......，n√n，...... 21. 若 a、b、c 为奇整数，证明：二次方程 a x2 + b x + c = 0 的根不能为有理数 22. 若 a、b 为正实数且 a + b =1，证明 ( a+1/a)2 + (b+1/b)2 ≧ 25/2 23. 试证明不存在任何互不相同的整数 a、b、c、d 满足 a3+b3=c3+d3 且 a+b=c+d 24. 若 a0、a 1、a 2、....、a 50 为多项式 (1+x+x2)25 的系数，证明 a0+a2+a4+....+a50 是偶数25. 证明多项式 f(x) = x4 + 26x3 + 52x2 + 78x +1989 不能表示为 f(x)=p(x) q(x)，其中 p(x)、q(x)整数系数的多项式且次数少于 4 26. 如实数 a、b、c 、d 全不为零，证明方程 x6 + ax3 + bx2 + cx +d = 0 的根不能全为实数。

27. 已知方程 x4 + px3 + qx2 + rx +s = 0 有四正的实数根，证明： i. pr - 16 s≧ 0， ii. q-36s ≧0． 在以上的任一等号成立当且仅当四个根全相等 28. 设 a、b、c 为实数且 01，使得对 A 内每个 k，f [m](k)=f(k)，这里 f[m](k)=f( f(..... f( f(k) )....) )共有 m个 f 提示：先求证：必存在正整数 i 与 j，i>j，使得对 A 内每个 k，有 f[i](k)=f[j](k)77. 求证：平面内存在一个凸六边形，使得 1.所有内角都相等； 2.在某重顺序下，边长分别为 1、2、3、4、5、6 提示：取 A 为坐标原点，B 坐标为(1,0)C 坐标为(2, √3)等，具体写出满足条件的凸六边形的各顶点坐标 70. 有 10 件物体，总重 20 千克每件物体重量为一个正整数，没有一件物体超过 10 千克重求证：这 10 件物体能分成两堆，每堆重 10 千克 提示：用 a1、a 2、....、a 10 分别表示这 10 件对象重量，且满足 a1+a2+....+a10=20令Sk=a1+a2+....+ak，这里 k=1, 2, ...., 9。

考虑 11 个数 0， S1，S 2，....，S 9，a 1-a10 除以10 的余数。