第五讲余数问题.docx

第五讲 余数问题从此讲开始，我们来进一步研究数论的有关知识小学奥数中的数论问题， 涉及到整数的整除性、余数问题、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数 的分解与分拆在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况当不能整除 时，就产生余数，余数问题在小学数学中非常重要同余：如果两个整数 a、b 除以同一个自然数 m 所得的余数相同，那么就说 a、b对于m是同余的，记作a三b(mod m)其性质如下：1、 a三a(mod m)反身性)2、 假设a三b(mod m),那么b三a(mod m)对称性)3、 假设 a三b(mod m)，b三c(mod m),那么 a三c(mod m)传递性)4、 假设 a三b(mod m)，c三d(mod m),那么 a±c三b±d(mod m), ac三bd(modm).(可加减性与可积性)5、 假设a三b(mod m)，n是自然数，那么an bn(mod m)A6、 如果a,b除以c同余，那么a与b的差能被c整除反之，如果两个整 数之差被 m 整除，那么这两个整数被 m 除一定同余7、 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数之和(或这个和除 以 c 的余数)。

例如： 23， 16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以(23＋16)除以 5 的余数等于 3＋1=4.注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除 以 c 的余数例如： 23， 19 除以 5 的余数分别是 3 和 4，所以(23＋19)除以 5 的余数等于(3＋4)除以 5 的余数 2.8、 a 与 b 的乘积除以 c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数之积(或这个积 除以c的余数)例如：23, 16除以5的余数分别是3和1,所以(23x16)除以5 的余数等于3x1=3.注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除 以c的余数例如：23, 19除以5的余数分别是3和4,所以(23x19)除以5的 余数等于(3x4)除以5的余数2.〖经典例题〗例1、求 127x321x1994 被 7 除的余数分析：127 三1(mod7) , 321三6(mod7) , 1994三6(mod7),127x321x1994三1x6x6(mod 7)=1 (mod 7)余数是 1.例2、求21994被 7 除的余数 (求7355的末两位是几？)分析：23三1(mod7), 1994=3x664 + 2, 21994三22 (mod7)三4(mod7). 〖方法总结〗这两个例题主要对性质 7 和 8 的应用,遇上比拟大的数,我们要找规律, 相信他一定会出现循环。

这两个性质非常重要,无处不在,一定要好好掌握 〖稳固练习〗练习1： 879x4376x5263除以11的余数是多少？练习 2： 1555 + 2x1555+3x1555 + ...+ 1555x1555 被 7 除的余数练习3： 12 + 22 + 32 +•••+ 20012 + 20022除以7的余数是多少？练习 4：某年的十月里有5个星期六, 4个星期日,问这年的 10月1 日是 星期几？练习 5：求51994 的末三位数字练习6：求使5n -1是7的倍数的所有自然数n.练习 7： 111.1(1000个1)被7除后余数是多少？〖经典例题〗例3、一个两位数去除251,得到的余数是41,求这个两位数分析：除数必大于余数，这个两位数大于41251-41=除数x商将210 分解, 210=2x3x5x7, 210的因数大于41 的只有42和70,所以要求的两位数 是 42 或 70.例4、69、90、125被某个正整数N除余数相同，试求N的最大值分析：因为余数相同，因此(90-69)、(125-90)都是 N 的倍数， N 是 21 和35的最大公因数7例 5、有一个整数，用它去除 70， 110， 160 得到的三个余数之和是 50.求 这个数？分析：由题意，先求出这个数的大致范围。

因为50+3=16……2,所以三个 余数中至少有一个大于 16，因此除数大于 16.由三个余数之和是 50，除数不应 大于 70,所以除数在 17〜70 之间70+110+160)-50=290, 290=2x5x29, 在17〜70之间的因数有29和58.因为110+58=1……52>50,所以58不符合题 意例6、两位自然数ab与ba除以7都余1,并且a>b,求ab xba分析：ab -ba 能被 7 整除，即〔10a+b〕-〔10b+a〕=9x〔a-b〕能被 7 整除所以只能有a-b=7,那么ab可能为92和81,验算可得当~ab =92时，仏=29满足题目要求，ab xba =92x29=2668此局部知识还可以参看附加3、4、5 〖方法总结〗这两个题是对性质 2 和 6 的应用，题目比拟简单，最后要分解质因数，然 后找出符合条件的数当要注意告诉我们的是被除数还是除数，像例5很容易引 起我们的错误解答通常我们先利用估算再根据余数小于除数的性质找出余数的 大致范围，然后求解〖稳固练习〗练习1： 5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数？练习2：用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16.被除数、除数、 商与余数的和是 933，求被除数和除数是多少？练习3：数2001, 2232除以整数n得到相同的余数，而且这个余数是合 数，求 n。

练习4：假设141、206、271分别除以m,余数相同并且都是奇数.m最大 是几？练习 5：自然数 N 分别除 442， 297， 210，得到相同的余数，这个相同的 余数是多少？练习 6：有一个自然数,用它分别去除 63,90,130 都有余数,三个余数的和是 25.这三个余数中最小的一个是几？练习 7：一个两位数除以一个一位数，商仍是两位数，余数是8被除数， 除数，商及余数之和是多少？练习 8： (★★★)三个不同的自然数的和为 2001，它们分别除以 19， 23，31 所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是多少？〖经典例题〗例 7、有一个数除以 5 余数是 3，除以 7 的余数是 2，这个数除以 35 的余 数是多少？分析：将被7除余2的数从小到大依次排列得： 2， 9， 16， 23， …其中第一个被5除余3的数是23，所以所有被7除余2，被5除3的数可 以写成35n + 23,所以这个数除以35余23例8、某数除以8余3，除以9余4，除以12余7，在1000以内这样的数 有哪几个？分析：我们发现3和8差5，4和9差5，7和12差5.这样如果给该数加上 5，那么它就能被 8、9、12 整除，8、9、12 的最小公倍数是 72，因此该数为 67。

〖方法总结〗此题用到的是逐步满足法：当找到满足某个条件的数后，为了再满足另一个 条件，需做数的调整，调整时注意要加上已满足条件中除数的倍数这个方法对 于所有类似的题目都适用，但有一个缺点，就是比拟麻烦因此有时我们需要观 察题目，看看余数和除数之间有没有特殊关系：(1)余数是否相同，(2)余数和除 数的差是否相同如果有特殊关系，我们可以给被除数加上或减去一个数，把余 数都变为 0.〖稳固练习〗练习1：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最 小数练习2：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合条件的最小 自然数练习3：一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小 的自然数练习4：四个连续自然数，它们从小到大顺次是3的倍数，5的倍数，7的 倍数，9 的倍数，这四个连续自然数的和最小是多少？〖经典例题〗例9、将自然数连续写下去1,2,3, 4,..,假设最终写到97,成为123...97, 那么这个自然数除以 99 余几？分析：99=9x11,因此我们先求出123.97,除以9和11的余数分别是多 少 (1) 除 以 9 的 余 数 ： 将 这 个 数 拆 成1+2+3+.+97=(1+97)x97-2=49x97=1 (mod9).(2) 除 以 11 的 余 数 ： 从 个 位 起 两 个 数 一 拆 , 然 后 求 和 。

1+23+45+67+89+10+11+...+97=225+(10+97)x88+2=225+107x44三5(mod11) 这样我们就可以知道这个自然数除以 9 余1，除以11余 5，用逐步满足法可求 得除以99余82.例10、求1x5x9x13x17x……x2005的末三位数字是多少？分析：注意到此题中的数是一个差为 4的等差数列，因此乘积不会是偶数因 此末尾不是0我们考虑到能被8和125整除的数的特点是看其后三位，因此我 们考虑乘积考虑8和125的余数三1(mod8), 1x5三5(mod8), 1x5x9三5(mod8), 1x5x9x13三1(mod8), 因此四个一循环，2005是(2005-1)-4+1=502个数，502+4=125…2•因此 乘积除以8余5.而且乘积是125的倍数，因此末三位只能是125、375、625、 875.其中除以8余5的只有125.因此末三位是125.〖方法总结〗考虑到看末三位数字的只有8和125，因此找到突破口，就不难解决了〖稳固练习〗练习1：将自然数连续写下去1, 2, 3, 4,…，假设最终写到2000,成为 123…2000,那么这个自然数除以11余几？练习2： 1x3x5x^x2007的末两位数是多少？练习3： 一个自然数n的立方的末三位是999,求这个数最小是多少？练习4：由1〜2022组成的多位数，除以99的余数是多少？练习5：算式7+7x7+... + 7x7x...x7计算结果的末两位数字是多少？V V '1990个 7〖经典例题〗例11、一列数1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…从第三项开始每一项为哪一 项前两项的和,此数列的第2000项除以8的余数是多少？分析：这个数列是： 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181 , 6765, 10946, …分别除以 8 的余数为： 1 , 1 , 2, 3, 5, 0, 5, 5, 2, 7, 1 , 0, 1 , 1 , 2, 3, 5, 0, 5, 5, 2, … 可 以看出余数为12个数一循环。

2000+12=166…8第8个余数为5,即所求的余 数是 5〖方法总结〗像此题这样它实际上和例 2 一样，就是找循环，当然在找规律时，用上了性 质7 和 8，这样会简化我们的计算过程〖稳固练习〗练习1有一个数列：1 2, 3, 5, 8, 13,……,(从第3个数起，每个数 恰好等于它前面相邻两个数的和)(1)求第 2022 个数被 6 除余几？(2)把以上各数 依次按下面方法分组(1), (2, 3), (5, 8, 13), …… 第 n 组含有 n 个数)问 第 2022 组的各数之和被 6 除余几？练习 2：把自然数按以下规律分组：(1), (2, 3, 4, ), (5, 6, 7, 8, 9),……；其中第一组1个数，第二组有3 个数,第三组有 5 个数,第四组有 7 个数, …… 求(1)第 11 组所有数之和； (2)2004 排在第几组的第几个数？练习 3： 2022个数排成一行,除了两头的两个数以外,每个数的3倍都恰 好是它两边两个数的和,这一行最左边的几个数是。