多维随机变量及其分布的概念.docx

多维随机变量及其分布对于多维随机变量应理解其概念及其性质，在多位随机变量中，二维随机 变量是基础，很多结论都是可以从二维随机变量推广到多维的对于二维随机变 量，不仅要理解联合分布的概念与性质，还要理解二维离散型随机变量的联合概 率分布、边缘分布、条件分布和二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度、 和条件密度一、 多维随机变量的联合分布函数、边缘分布函数[1] 多维随机变量的及其分布的概念：如果N维向量｛Xj X2…X ｝的每个分量都是随机变量，贝I」，称之为1 2 nN 维随机变量，并称函数F (x , x …x ) = P｛ X < x , X < x ,…X < x ｝1 2 n 1 1 2 2 n n是N维随机变量｛X「X2…X ｝的联合分布函数1 2 n称函数F ( x)二P｛ X< x｝二用 g , + a, • %•, + g为+ g维向量i i i i｛X1,X2…X ｝关于X的边缘分布，或为F(x ,x…x )的边缘分布函数1 2 n i 1 2 n[2] 二维随机变量的联合分布函数的概念和性质a) 二维随机变量的联合分布函数的概念： 二维随机变量的联合分布函数定义如下： F (x, y) = P(X < x, Y < y)b) 二维随机变量的联合分布函数的性质：①对于任意x,y, 0 < F (x, y) < 1②F(x, y)为关于x或y均为单调非降、右连续的函数。

[3] 二维随机变量的边缘分布的概念二维随机变量(X, Y)关于X与Y的边缘分布函数分别定义为:① F (x) = P{ X < x} = P{ X < x, Y < +Q = F (x, +8)x② F (y) = P{Y < y} = P{X <+8, Y < y} = F(+8, Y)y二维离散型随机变量[1] 二维离散型随机变量的联合概率分布的概念：二维离散型随机变量(X, Y)是只能去有限个或可列个值，其相应的概率表示为：P(X = x , Y = y ) = p (i ,j = 1, 3i i ij并称为联合概率分布或联合分布律：yiy2yjx1p11p12p1 jx2xipi 1pi 2[2] 二维离散型随机变量的联合概率分布的性质：(i ,j = 1,3① P (X = x , Y = y ) = p > 0p = 1ij工工pijx. < X Y . < Y[3]二维离散型随机变量的边缘分布：二维离散型随机变量( X ,Y )关于 X 和 Y 的边缘概率分布(或边缘分布律)分别定义为：p = P{X = x }=工 P X 二 xY = y =}工 pi・ i i j ijjjp = P{Y = y }二工 P X 二 x Y, = y 二}工 p•j 1 1 j ijii 依据边缘分布函数的定义：F (x) = P{ X < x}二工 p{ X = x }二工 px i i •x < x x < xiiF (x) = P{Y < y}=工 p{Y = y }=工 pY i • jY < Y Y < Y[4] 二维离散型随机变量的条件分布①定义：设p = P{Y = y } > 0，在事件“Y = y ”发生的条件下，事件• j j j“ X = x ”发生的条件概率为：iP{ X = X Y = Y P{ X = X Y = Y } = ii j P(Y = Y )j}=pjp•j(i, j = 123 …)称为在“Y = Y ”条件下，X的条件分布律 j②同样，可以定义在“X二x”发生的条件下，“ Y二y ”发生的概率 ij为：P{Y = yipjpi •=x}=P{ X 二 x，Y 二 y,} j P(X = x )[5] 二维离散型随机变量的条件分布函数对于离散型随机变量，如果P{Y二y }〉0，则在“Y二y ”的条 jj件下， X 的条件分布函数为：F (x y ) = p{ X < xY = y }P{ X = x Y = y }X Y i I i i ixi < x同样，可以定义在“X二x ”发生的条件下，“ Y二y ”发生的ij概率为：F (ylx ) = p{Y < y X = x } " P{Y = y X = x }二维连续型随机变量[1] 二维连续型随机变量的概念对于二维随机变量(X, Y)的分布函数F(x, y)，如果存在非负函数f (x, y) ，使得：F (x, y) J Jy f (s, t)dsdt—g —g(-g < x, y < +g)则称(X, Y)为二维连续型随机变量,称函数f (x, y)为(X, Y)的联合概率密度或则联合密度函数。

[2] 二维连续型随机变量的性质：① f (x, y) > 0② A 卜 f (x, y )dxdy = 1 o—g —g③ 二维连续型随机变量落在任何区域内的概率为口 f (x, y)dxdy oD即：P{(X, Y) e D} i f (x, y)dxdyD[3] 二维连续型随机变量的边缘密度+gfx (x)=『f (x, y)dy 关于X的边缘概率密度(或边缘密度函—g数).+gfY (y)=」f (x, y)dx关于Y的边缘概率密度(或边缘密度函—g数).边缘分布函数可以通过边缘密度函数表示：F (x)二 P{X < x}二 P{X < x, Y <+g}二 Jx f+g f (s, t)dsdt 二 f f (s)dsXX —g —g—g[4] 连续型随机变量的条件概率密度(条件密度函数)设fY(y) >0，则在Y=y的条件下,X 的条件概率密度为：FxYf (x, y)f (y)同样，可以定义在X=x的条件下，y的条件概率密度为:Fy|x(ylX)f (x, y)f (x)X密度乘法公式：f (X，y)二 fX(x)fYX(y x)f (x, y) = f (y) f (x y)Y XY(f (y) > 0 f (x)〉0 )YX[5] 连续型随机变量的条件分布函数对于连续型随机变量(X, Y)，如果f (x, y)在点(x, y )连续,fY(y )> 0且连续，则条件分布函数为：F (xly) = f f (sly)ds = f dsxY i xY i f (y)—g —g Y。