2017-2018学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2.1 抛物线的简单性质 北师大版选修1-1.ppt
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2.2.2.1 抛物线的简单性质 1.了解抛物线的轴、顶点、离心率、通径的概念. 2.掌握抛物线上的点的坐标的取值范围,抛物线的对称性、顶点 、离心率等简单性质. 3.会用顶点及通径的端点画抛物线的草图. 抛物线的简单性质 【做一做1】 抛物线x2=-4y的通径为AB,O为抛物线的顶点,则( ) A.通径长为8,△AOB的面积为4 B.通径长为8,△AOB的面积为2 C.通径长为4,△AOB的面积为4 D.通径长为4,△AOB的面积为2 答案:D 【做一做2】 若抛物线y2=2px(p0)上一点M到准线及对称轴的 距离分别为10和6,则点M的横坐标和p的值分别为( ) A.9,2B.1,18 C.9,2或1,18D.9,18或1,2 答案:C 题型一题型二题型三 抛物线方程及其几何性质 【例1】 已知顶点在原点,以x轴为对称轴,且过焦点垂直于x轴的 弦AB的长为8,求出抛物线的方程,并指出它的焦点坐标和准线方程 . 解:当焦点在x轴的正半轴上时, 设方程为y2=2px(p0). 故抛物线方程为y2=8x,焦点坐标为(2,0),准线方程为x=-2. 当焦点在x轴的负半轴上时,设方程y2=-2px(p0). 由对称性知抛物线方程为y2=-8x,焦点坐标为(-2,0), 准线方程为x=2. 反思求抛物线的标准方程主要步骤是先定位,即根据题中条件确 定抛物线的焦点位置;后定量,即求出方程中p的值,从而求出方程. 题型一题型二题型三 【变式训练1】 抛物线的顶点在原点,对称轴是 的 短轴所在的直线,抛物线的焦点到顶点的距离为3,求抛物线的方程 及准线方程. ∴抛物线的对称轴为x轴. 设抛物线的标准方程为y2=2px或y2=-2px(p0), ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3, ∴抛物线的方程为y2=12x或y2=-12x, 准线方程分别为x=-3或x=3. 题型一题型二题型三 抛物线几何性质的应用 【例2】 已知A,B是抛物线y2=2px(p0)上两点,O为坐标原点,若 |OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点,求直线AB的方程. 题型一题型二题型三 反思抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应 用,本题的关键是根据抛物线的对称性判断线段AB垂直于x轴,故求 直线AB的方程时,求出AB的横坐标即可. 题型一题型二题型三 【变式训练2】 已知点A,B为抛物线 上的动点,且|AB|=a(a 为常数且a≥4),求AB的中点P到x轴的最短距离. 解:设A,P,B三点的纵坐标分别为y1,y2,y3,A,P,B三点在抛物线的准 线上的射影分别为A',P',B',将抛物线方程变形为x2=4y,所以p=2. 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三 抛物线中过焦点的弦长问题 【例3】 过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于点 A(x1,y1),B(x2,y2),若|AB|=7,则AB的中点M到抛物线准线的距离为 . 题型一题型二题型三 反思抛物线y2=±2px(p0)的过焦点的弦长|AB|=x1+x2+p,其中x1,x2 分别是点A,B横坐标的绝对值;抛物线x2=±2py(p0)的过焦点的弦 长|AB|=y1+y2+p,其中y1,y2分别是点A,B纵坐标的绝对值. 题型一题型二题型三 【变式训练3】 过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,求|AB|的值. 解:∵y2=4x,∴2p=4,p=2. ∴由抛物线定义知|AF|=x1+1,|BF|=x2+1. ∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=6+2=8. 12345 答案:C 12345 2.若点P为抛物线y2=2px(p0)上任意一点,F为抛物线的焦点,则以 |PF|为直径的圆与y轴的位置关系为 ( ) A.相交B.相离 C.相切 D.不确定 答案:C 12345 3.已知点A(0,2),B(2,0).若点C在函数y=x2的图像上,则使得△ABC的 面积为2的点C的个数为( ) A.4B.3 C.2D.1 答案:A 12345 4.已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点, |AF|=2,则|BF|= . 解析:设点A,B的横坐标分别是x1,x2,则依题意有焦点 F(1,0),|AF|=x1+1=2,x1=1,直线AF的方程是x=1,此时弦AB为抛物线 的通径,故|BF|=|AF|=2. 答案:2 12345 5.抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135° 的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线方程. 12345 ∴x1+x2=3p.② 由①②得p=2,∴所求抛物线方程为y2=4x. 当抛物线的焦点在x轴负半轴上时, 同理可求得抛物线方程为y2=-4x. 综上所述,所求抛物线的方程为y2=4x或y2=-4x. 。
