第七章 非线性系统.docx

第七章 非线性系统第一节， 非线性的基本概念一，非线性模型 组成：非线性环节+线性环节 二，分类从形状特性上分：饱和、死区、回环、继电器a,饱和响应不能用叠加原理因高阶作用太复杂三，特点：稳定性与结构，初始条件有关四，分析方法 相平面法(实际限于二阶非线性系统)较精确描述函数法：近似性，高阶系统也很方便1, 死区继电器：f(e)+m-△e ►△e e7—2 二阶线性和非线性系统相平面法分析一、相平面法基本概念要完全地描述二阶的系统时域行为，至少要用两个变量(状态变量)可选x(t)和x(t)作为状态变量i. 相平面：以横坐标表示x,以纵坐标x构成一个直角坐标系，2． 相轨迹：相平面上的点随时间变化描绘出来的曲线称为相轨迹3. 相平面图：相平面和想轨迹曲线簇构成相平面图4. 想平面法：用相图表示非线性二阶系统过程的方法成相平面法，5. 相平面发局限性 在于只适用在定常系统，系统输入只适限于阶跃和斜坡举例：例8—1 某弹簧 质量运动系统m—质量，k—弹性系数解：描述系统运动的微分方程为：直接微分法方程x“+x=O 可写成 x・dx・/dx二一x分离变量x・dx二一xdx 代入初始条件丿x・dx•二一丿xdx即 x+x=xo 与上法结果相同。

分析：等幅振荡特性可以用相轨迹表征 ，相轨迹为闭合曲线一. 奇点1.定义:相轨迹方程dx'/dx为不定值的点dy/dx=0/04.奇点类型1) 稳定焦点(-lv Z <0)相轨迹从原点向外发散，自由运动不收敛平衡点，是周期性增幅振荡二. 极限环分类相平面上孤点的闭和曲线称为极限环，与初始条件无关. 极限环表示对应于时域中有确定振 幅和频率的振荡，极限环包括 稳定极限环 不稳定极限环 半稳定极限环 稳定极限环：极限环外部和内部起始的相轨迹都渐进趋向于这个极限环，任何较小的扰动使 系统离开极限环后，最后回到环上不稳定极限环、半稳定极限环不能产生自振荡，环内相轨 迹发散、极限环外相轨迹收拢极限环7—3 非线性系统的相平面分析首先根据非线性特性的分段情况，用几条分界线将相 划分为几个现行区域1) 然后按照系统的结构图分别列写各区域的线性微分方程式2) 并应用线性系统相平面分析的方法和结论，绘出各区域的相轨迹3) 根据系统状态变化的连续性，在各区域的交界线上，将响轨迹彼此衔接成连续曲线， 即构成完整的线性系统相图实奇点：每个区域内有一个奇点，如果这个奇点在本区域之内，这种奇点称实奇点 虚奇点：如果奇点落在本区域之外，称虚奇点表明该区域相轨迹不可能汇集于虚奇点. 二阶非线性系统中，只可能有一个实奇点，而与这个 实奇点所在区域邻接的所有其它区域都可能有虚奇点控制系统分析例: 饱和特性的非线性控制系统，用相平面法分析系统的阶跃响应和斜坡响应解：系统线性部分c(s)/x(s)=0.25/s(0.55+l) 0.5c''+c'\0.25x e=r-c 非线性部分：l0e |e|l-l0 e<-l阶跃响应 r=Rx1(t)，当 t>0+时 r''(t)=r'(t), r=R e'=-c', e''=-c''描述系统误差的方程为0.5e''+e'+0.25x=0x=10e |e|<=1x=10 e>1x=-10 e>1即为方程线性方程， 在相平面上， e=+-1 的两条直线把相平面划分为三个区域1) 对于 1 区，系统线性微分方程为0.5e''+e'+2.5e=0 de'/de=-e'-0.5e/0.5e 相轨迹方程。

令 de'/de=0/0, 得出奇点为 e=0 e'=0用该区域线性微分方程的特征根S1,2=-1+-2j=-1+-j2 系统为周期衰减，该奇点为稳定的焦点，且为实奇点奇点在(0,0), 在一区内 由等倾线方程-e'-2.5e/0.5e'=a得 e'=-2.5e/1+0.5是一簇通过原点的直线 2在e>1 (二区内)，系统微分方程0.5e''+e'+2.5=0 相轨迹方程 de'/de=-e'-2.5/0.5e' 等倾线方程e'=-2.5/0.50等倾线是一簇平行于横轴的直线，相轨迹均渐进于a=0,e'=0.25的直线 3 在三区 e<-1系统微分方程0.5e''+e'-2.5=0 de'/de=-e'+2.5/0.5e'e'=2.5/1+0.50仍没有奇点相轨迹均渐进于a=0,e'=2.5的直线 最后在相平面上作出各个区域的等倾线和相轨迹的切线方向场系统由A点沿二区的相轨迹则达到B点，过B后，进入一区，(稳定焦点)沿一区相轨迹 收敛于平衡点系统如起始于二区的，相轨迹从二区达到一区，沿一区螺旋线卷向原心，不 会到三区同样，如起始在三区的相轨迹也不会进入二区只能在一区即达到稳定在 | e|<=e0 区，取 v0=2,v〈2.5相轨迹方程 de'/de二-e'-ke+vO/te'0.5e''+e'+2.5e=2.0e +2e +5(e-2.0/2.5)=0令 e'=e-2/2.5=e-0.8e'''+2e''+5e'=0de''/de=-2e''-5e'/e''=0/0 奇点 e''=0 e'=0 即 e'=0 e=0.8〈l位于一区 , 为实奇点.特征方程根Sl,2=-l+-j2故奇点为稳定点。

等倾线方程 e=Uo-Ke/l+a T=2-2.5e/l+0.5a2. 在二区描述子次方 O.5e''+e'+2.5=2.O e''+2e'+1=O相轨迹方程 de /de■-e -2.5+2/0.5e +■-e -0.5/0.5e 无奇点等倾线方程e ' =2-10/1+0.5e等倾线是一簇平行于横轴的直线渐近线e=Vo-2.5=2-2.5=-0.5系统由A点所对应的初始状态一区的根轨迹转移到二区的边界点B沿二区根轨迹移动，当移动到一区的边界C点后，在折回到一区，沿一区的根轨迹收敛于平衡点 所以稳态误差为 O.83．在三区， O.5e +e -2.5=2.Ode /de=-e +2.5+2/O.5e 无奇点0 =-e ' +4.5/0.5e '平行于横轴的直线根轨迹的渐近线e ' =Vo+KM=Vo+2.5§7-4 描述函数一 描述性函数的定义 非线形元件的输入为正弦波时，将输出的非正弦波的一次谐波(基波)与输入正弦 波的复数比，定义为给非线形环节的描述性函数输入：x(t)= Asinwt输出： ) y=f(Asinwt)=y0+ E x(t)=Asinwt (Bksinkwt+C^^oskw t)假设输出为对称奇函数，y°=0；只取基波分量(假设具有低通滤波特性，高次谐波忽略)， 贝I」y(t)二B]Sinwt+C]coswt二y(sinwt+C)二 典型非线形特性的描述函数1, 计算方法 设非线形特性为：y=f(x)令X=Asinwt,则y(t)由富式级数展开为：Y(t)=Ao+ 刀(Ancosnwt+Bnsinnwt) =Ao+ 工Ynsin(nwt+C) 如果非线性特性是中心对称的，则y(t)具有奇次对称性,Ao=o,谐波线性略去高次谐波，只取基波，具有低通滤波特性。

Y =A coswt+B sinwt=Y sin(wt+C1)1 1 1 1N(A)=Y /AXexp(j0 )=Y /AcosC +jY /AsinC1 1 1 1 1 1举例 求饱和限幅特性的描述函数y(t)具有奇次对称性，Ao=0 A=l/n ' y(t)coswtd(wt)=0B1=1/n ' y(t)sinwtd(wt)=2/n 'y(t)sinwtd(wt)2/n (/y(t)sinwtd(wt)+y(t)sinwtd(wt)+y(t)sinwtd(wt))比较线性系统特征方程G(jw )= - 1线性系统，(-1, j0)点是判断稳定的关键点非线性系统，判断稳定性不是点(-1, j0)，而是一条线-1/NA/d)由线形部分与描述函数负侧特性之间相对位置可以判断非线性系统的稳定及自激振荡，即可 利用奈奎斯稳定判据进行分析3. 判据内容：在开环幅相平面上，G(jw )条件，最小位相，无右极点1) 若KG(jw )轨迹不包围时线性负侧特性- 1/NA/d)，则此非线性系统稳定2) 若Ko G(jw )轨迹包围-1/NA/d)，则非线性系统不稳定3) 若Ko G(jw )与- 1/N。

A/d)相交，则在交点处，系统处于临界稳定，可能产生周 期持续震荡，这种持续震荡可以用正弦振荡来近似，其振荡的振幅和频率可以分别用交点处 -1/No (A/d )轨迹上的A值Ko G(jw )曲线上对应的3值来表征工程设计中，通常性部分加入校正，改变Ko G(j3 )与-1/No (A/d)的相对位置， 以消除持续振荡，提高系统稳定性例 2.判定自振点并求自振参数试分析系统 K 的运动情况，并求 K=10 时的自振参数 解：化为典型结构 两个非线性串联，逐点分析求等效Xc饱和与理想三位继电器一〉理想三位继电器。