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    利用波尔共振仪研究受迫振动8600字    利用波尔共振仪研究受迫振动***，物理学系摘要：本实验通过测量连续变化的摆幅计算阻尼系数，并研究波尔共振仪中弹性摆轮受迫振动的幅频特性和相频特性，及不同阻尼矩对受迫振动的影响，同时观察共振现象及其性质关键词：波尔共振仪受迫振动幅频相频阻尼系数Research of Vibration Characteristics with Pohl ResonatorYixiong Ke, Department of PhysicsAbstarct：This experiment calculate the damping factor by measuring the continuous changing of swing-amplitude , and studying amplitude-frequency and phase-frequency characteristics of the forced vibration in the Boer resonance instrument and how different damping moments affect the forced vibration. Besides, we observe the phenomenon of resonance and its characters.Key words: Pohl resonator forced vibration amplitude-frequency phase-frequency damping factor1一、 引言振动系统在周期性的外力作用下，其所发生的振动称为受迫振动，这个周期性的外力称为策动力。

物体的受迫振动达到稳定状态时，其振动的频率与策动力频率相同，而与物体的固有频率无关共振是指物理系统在特定频率下，比其他频率以更大的振幅做振动的情形；这个特定频率称之为共振频率自然中有许多地方有共振的现象，人类也在其技术中利用或者试图避免共振现象在机械制造和建筑工程等领域中，受迫振动所导致的共振现象引起工程技术人员极大关注它既有破坏作用，也有实用价值很多电声器件都是运用共振原理设计制作的另外，在微观科学研究中，“共振”也是一种重要的研究手段例如：利用核磁共振和顺磁共振研究物质结构等表征受迫振动性质是受迫振动的振幅—频率特性和相位—频率特性(简称幅频特性和相频特性)波尔共振仪被普遍用于研究扭摆的阻尼振动和受迫振动本实验通过其测量摆幅与时间关系测量阻尼系数，并定量测定机械受迫振动的幅频特性和相频特性，其中利用了频闪方法来测定相位差最后观测摆轮从静止开始，在不同受迫力作用下的运动情况通过本实验更深刻的体现了受迫振动性质，并学会运用不同方法测阻尼系数二、 实验原理1、受迫振动和共振受迫振动指物体在周期外力的持续作用下发生的振动，这种周期性的外力称为策动力如果外力是按简谐振动规律变化，那么稳定状态时的受迫振动也是简谐振动。

此时，振幅保持恒定，振幅的大小与策动力的频率和原振动系统无阻尼时的固有振动频率以及阻尼系数有关在受迫振动状态下，系统除了受到策动力的作用外，同时还受到回复力和阻尼力的作用所以在稳定状态时物体的位移与策动力变化相位不同，而是存在一个相位差当策动力频率与系统的固有频率相同时，系统产生共振，振幅最大，相位差为90°2、振动方程实验采用摆轮在弹性力矩作用下自由摆动，在电磁阻尼力矩作用下作受迫振动来研究受迫振动特性，可直观地显示机构振动中的一些物理现象当摆轮受到周期性策动力矩 M=?0?????的作用，并在有空气阻尼和电磁阻尼的媒质中运动时（阻尼力矩为?b??）2??其运动方程为：?2???J=????b+?0????? J为摆轮的转动惯量，k为弹性力矩，?0为强迫力矩的幅值，?为策动力角频率 令?02=?，2β=?m=上式变为?2???+2β+?02?=m????? 当m?????=0时，此式即为阻尼振动方程对此方程进行常微分方程求解，得到其通解为：θ=?1????cos(??+?)+?2cos(??+?)由通解可见，受迫振动可分成两部分：第一部分：?1????cos(??+?)和初始条件有关，经过一定时间后衰减消失，它表征了阻尼振动；第二部分：?2cos(??+?)说明强迫力矩对摆轮作功，向振动体传送能量，最后达到一个稳定的振动状态。

2=?0???0? 它与策动力矩之间的相位差为：2???=arctan ?0??稳定状态下受迫振动运动状况取决于策动力矩?0，频率?，系统的固有频率?0和阻尼系数?这四个因素，而与振动的初始状态无关用?2对?做偏导，可得当极值条件时，强迫力的圆频率??=0，此时即产生共振，振幅有极大值此时的振幅是??=? 20可以看出，阻尼系数?越小，共振时圆频率接近于系统固有越率，共振的振幅也振幅越大理论上当阻尼?趋近于0时，??趋近于无穷，这也是有时共振可以产生极强的破坏力的原因3、幅频相频特性曲线以x=?0?3以x=??0特性曲线通过这两条曲线可以表征受迫振动的性质振幅与相位差随x的变化规律应为：?2=?0=arctan2??02当振幅达到极值时，自变量??= 0对于2?2??0，x=1时，幅频特性曲线达到极值，而相频曲线相交于(1,π/2)4、阻尼系数的计算当振动系统做阻尼振动时，其振幅随时间的变化规律为θ=?1??? ??本实验中采用了3种方法计算阻尼系数：θ对 ??作图，并将其进行e指数拟合，可直接得到β的数值求θ的自然对数lnθ，有lnθ=ln?1?? ??，lnθ对 ??进行直线拟合，其斜率值即为??连续测量10组振幅??，i=1,2?10，并记录总周期10T。

计算lnθlnθ?θ?+5θ??+5，由公式可知，=5??,即可算出?5、过阻尼，欠阻尼与临界阻尼任何振动系统，当阻尼增加到一定程度时，物体的运动是非周期性的，物体振动连一次都不能完成，只是慢慢回到平衡位置就停止了当阻力使振动物体刚能不作周期性振动而又能最快地回到平衡位置的情况，称为“临界阻尼”状态相对于临界阻尼，如果阻尼再增大，系统则需要较长时间才能达到平衡位置，这样的运动叫“过阻尼”状态；如果阻尼减小，系统发生多次振动，振幅则逐渐减小，最后达到平衡位置，这叫做“欠阻尼”状态这三种阻尼系统的振动曲线如右图所示：46、频闪法测量相位差闪光灯受摆轮信号灯电门控制，每当摆轮上长形凹槽通过平衡点时，光电门接受光，触发闪光有机玻璃跟随策动力偏心轮旋转，角度刻度与策动力完全同步闪光灯放在有机玻璃前，在稳定情况下，在闪光灯照射下可看到有机玻璃指针好像一直“停在”某一刻度，这一现象称为频闪现象，此值可方便直接读出，误差不大于2°，为相位差三、 实验装置及过程1、测定摆轮的摆幅与周期的关系1) 阻尼档放在0处，将波尔共振仪打开，并预热5分钟左右2) 拨动弹性摆轮使其振动，确保其可以正常工作3) 将波尔共振仪调至测量单次周期，测量摆轮周期4) 将相位盘的示数放在零刻度处，拨动摆轮到175度左右，略微停顿后松手使摆轮开始振动5) 记录每组出现的周期??和对应振幅θ?，直到振幅达到10度以下6) 将振幅θ?对周期??作图，寻找二者之间的关系2、测定空气的阻尼系数1）不测量新的数据，在实验1的数据基础上对其进行处理2）多次测量的单个周期进行加和得到 ??3）振幅θ?对时间 ??作图，并对其进行e指数拟合，可得到阻尼系数β4）求振幅θ?的自然对数lnθ?5）自然对数lnθ?对时间 ??作图，并对其进行线性拟合，可得到阻尼系数β3、测定阻尼系数1）关闭仪器，阻尼档放在1处，并间隔5分钟左右再打开仪器2）将波尔共振仪调至测量10次周期，测量摆轮周期3）将相位盘的示数放在零刻度处，拨动摆轮到175度左右，略微停顿后松手使摆轮开始振动4）从第一个在150度左右的数据开始记录，连续记录十次振幅θ?，读取10次振动的总周期5）计算lnθθ??+5，由公式可知，lnθθ??+5=5??,即可算出?。

4、测出幅频特性与相频特性曲线51）阻尼档仍放在1处，相位盘的示数放在零刻度处2）波尔共振仪调至测量单次周期，测量摆轮周期3）将强迫力周期旋钮调至0.5，并打开电机，使摆轮受迫振动，待周期值与振幅值稳定后（连续10次数据未发生改变）进行读数4）记录摆轮周期（与强迫力矩周期相等），摆轮振幅，并使用闪光灯使相位差的指针在视网膜上形成暂留，读取相位差数值5）从振幅周期关系表中读取固有周期数值6）强迫力周期每次增大0.5，并且在相位差靠近90度后将步长改为0.2或0.1，重复（3）（4）两步，直到强迫力周期达到10.05、改变阻尼档测量1）关闭仪器，阻尼档放在2处，并间隔5分钟左右再打开仪器,重复步骤3，4的实验2）关闭仪器，阻尼档放在3处，并间隔5分钟左右再打开仪器,重复步骤3，4的实验5、观测摆轮从静止开始，在不同受迫力作用下的运动情况1）关闭仪器，阻尼档放在2处，并间隔5分钟左右再打开仪器2）将强迫力周期旋钮调至10，并打开电机，使摆轮受迫振动3）从第一有次示数开始，记录摆轮的振幅值，直到数据点足够多（>100）4）改变强迫力周期为9.0,8.0,7.0,6.0,5.0,3.0,1.0，重复实验5）将振幅θ?对i作图，并与过阻尼、欠阻尼及临界阻尼现象作比较6、观测摆轮从静止开始，在不同阻尼作用下的运动情况1）将强迫力周期旋钮调至1.0，并不再改变2）关闭仪器，阻尼档放在1处，并间隔5分钟左右再打开仪器3）打开电机，使摆轮受迫振动4）从第一有次示数开始，记录摆轮的振幅值，直到数据点足够多（>100）5）改变阻尼为0,3,4,5，重复实验实际所用实验器材型号：BG-2型波尔共振仪四、 实验结果1、测定摆轮的摆幅与周期的关系6根据测得数据，以振幅为横坐标，周期为纵坐标作图如下:从图中可以看出，周期随着时间的变化并不明显，在振幅小于40度时，并无特别规律；当振幅大于40度时，周期基本随着振幅的增大而减小。

这种周期的变化幅度在仪器可测量范围内变化率为ε=1.585?=1.9%2、测定空气的阻尼系数（1） 根据附表1中数据，振幅θ?对时间 ??作图，并对其进行e指数拟合，可得到阻尼系数?：拟合公式为θ=?1??? ???1=181±1?=(7.14±0.05)×10?3??1（2）求振幅θ?的自然对数lnθ?自然对数lnθ?对时间 ??作图，并对其进行线性拟合(考虑到额外的误差，选取图线中线性关系较好的一段进行拟合)，可得到阻尼系数?：拟合公式为lnθ=ln?1?? ??ln?1=5.165±0.001?=(6.33±0.01)×10?3??13、测定加油电磁阻尼的阻尼系数连续测量10组振幅??，i=1,2?10，并记录总周期10T计算lnθθ??+50.03?7lnθ?θ?+5=5??,即可算出?4、测出幅频特性与相频特性曲线将测得的阻尼1,2,3的振幅-x的数据绘制在图中：可以看出，三个档位的不同阻尼，其振幅极值都在x=1处振幅随着外界驱动力频率的增大先增大后减小，中间有一个极大值，并且极大值随着阻尼的增大而减小这个极大值应当可通过公式计算：?2=?0?=2?0?=?0?=1,2,。