第10次课2.3拉普拉斯方程分离变量法课件.ppt

数学表述如下:(在每个小区Vi)(在整个区域V 的边界面S上给定,按约定,边界面法线 指向V 外)(在两种绝缘介质的分界面上)分界面法向单位矢量 由 指向 )或　　惟一性定理指出,满足以上定解问题的电势解就是区域V 中静电场分布的惟一解. 复习复习b）数学表示为:(在V ′ 内)(已知)(已知)（待定）或a）数学表示为:(在V ′ 内)(已知)(已知)或§2.3 拉普拉斯方程，分离变量法拉普拉斯方程，分离变量法Laplace's equation, method of separate variation 基本问题：电场由电势描述基本问题：电场由电势描述电势满足泊松方程电势满足泊松方程+边界条件边界条件只有在界面形状是比轻简单的几何曲面时，这只有在界面形状是比轻简单的几何曲面时，这类问题的解才能以解析形式给出，而且视这体类问题的解才能以解析形式给出，而且视这体情况不同而有不同解法情况不同而有不同解法本节和以下几节我们研究几种求解的解析方法本节和以下几节我们研究几种求解的解析方法具体的工作：解泊松方程具体的工作：解泊松方程在许多实际问题中，静电场是由带电在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的．导体决定的．例如例如l电容器内部的电场是由作为电极的两个电容器内部的电场是由作为电极的两个导体板上所带电荷决定的导体板上所带电荷决定的l电子光学系统的静电透镜内部，电场是电子光学系统的静电透镜内部，电场是由分布于电极上的自由电荷决定的由分布于电极上的自由电荷决定的这些问题的特点：自由电荷只出现在一些导体的这些问题的特点：自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空间中没有其他自由电荷分布．表面上，在空间中没有其他自由电荷分布．选择导体表面作为区域选择导体表面作为区域V的边的边界，界，V内部自由电荷密度内部自由电荷密度ρ＝＝0，，泊松方程化为比较简单的拉泊松方程化为比较简单的拉普拉斯方程普拉斯方程它的通解可以用分离变量法求出。

拉氏方程在球坐它的通解可以用分离变量法求出拉氏方程在球坐标中、并若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，标中、并若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，这种情形下通解为这种情形下通解为因此剩下的问题归结为：怎样利用边界条件及边值关因此剩下的问题归结为：怎样利用边界条件及边值关系确定常数，得到满足边界条件的特解系确定常数，得到满足边界条件的特解 利用边界条件定解利用边界条件定解说明两点： 第一，如果考虑问题中有i 个区域（均匀分布），必须有i个相应的Laplace's equation . 第二，在每个区域的交界面上，应该满足边值关系：边界条件：及导体的总电荷3、举例说明定特解的方法举例说明定特解的方法[例例3 P68] 半径为R0的导体球置于均匀外电场E0中，求电势和导体上的电荷面密度[例例1 P64]一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带电荷为Q 同心地包围着一个半径为R1的导体球（R1

即故定解条件为：边界条件： (i)因为导体球接地，有 (ii)因整个导体球壳为等势体，有QR1R2R3(iii)球壳带电量为Q，根据Gauss theoremQR1R2R3第二步，根据定解条件确定通解和待定常数不依赖于θ，取 , 故得到导体球壳内、外空间的电势：从而得到QR1R2R3QR1R2R3令因此得到：导体球上的感应电荷为QR1R2R3zR[例例2 P66 ]介电常数为ε的均匀介质球，半径为R，被置于均匀外场 中，球外为真空求电势分布Solution: 第一步：第一步：根据题意，找出定解条件 由于这个问题具有轴对称性，取极轴z沿外电场 方向，介质球的存在使空间分为两个均匀区域—球内、球外两区域内都没有自由电荷因此电势 满足Laplace's equation以 代表球外区域的电势， 代表球内区域的电势，故 第二步：第二步：根据定解条件确定通解和待定常数 由（2）式得比较两边系数，得由（6）式得从中可见故有：再由 得:比较 的系数，得由此得到电势为zθrφyx其中第一步：分析题意，找出定解条件。

第一步：分析题意，找出定解条件第二步：写出通解第二步：写出通解分离变量法基本步骤：分离变量法基本步骤：第三步：根据定解条件确定待定常数第三步：根据定解条件确定待定常数总结本节课的内容总结本节课的内容作业：课本作业：课本P93 习题习题2。