高阶统计量的定义与性质.doc

1第 1 章 高阶统计量的定义与性质§1.1 准备知识1.随机变量的特征函数若随机变量的分布函数为，则称x)(xFdxxfexdFeeExjxjxj)()(][)(为的特征函数其中为概率密度函数x)(xf离散情况：}{,][)(kkk kxjxjxxpppeeEk* 特征函数是概率密度的付里叶变换)()(xf例：设~，则特征函数为x),(2aNdxeexjax 222/)( 21)(令，则2/ )(axzdzeajzjz 221)(根据公式：，则ABAC CxBxAxeAdxe22222 21 )(aje若，则0a22 21 )(e2.多维随机变量的特征函数设随机变量联合概率分布函数为，则联合特征函数为nxxx,,,21L),,,(21nxxxFL),,,(][),,,(21)()( 2122112211 nxxxjxxxj nxxxdFeeEnnnnLLLLL令,，则T nxxx],,,[21LxT n],,,[21Lω矩阵形式dXfeTj)()(xωxω或 标量形式nnxjndxdxxxfeknkk,,),,(),,,(11211LLLL 其中，为联合概率密度函数。

),,,()(21nxxxffLx2例：设维高斯随机变量为n,T nxxx],,,[21LxT naaa],,,[21La nnnnnccccccLMML2111211 c)])([(],cov[kkiikiikaxaxExxc的概率密度为 x )()(21exp )2(1)(2/12/axcax cxTnP 的特征函数为x矩阵形式 cωωωaωTTj21exp)(其中，,T n],,,[21Lω标量形式  ninjjiijniiinCaj1112121exp),,,(L3.随机变量的第二特征函数定义：特征函数的对数为第二特征函数为)(ln)((1)单变量高斯随机过程的第二特征函数222 21ln)(22 ajeaj(2)多变量情形jniinjiijiniinCaj 1112121),,,(L§1.2 高阶矩与高阶累积量的定义1.单个随机变量情形（1） 高阶矩定义 随机变量的阶矩定义为xkdxxpxxEmkk k)(][显然，。

随机变量的阶中心矩定义为10m][1xEmxk(1)dxxpxxEkk k)()(])[(3由式(1)可见，,,10012 2若存在，则的特征函数可按泰勒级数展开，即),, 2 , 1(nkmkLx)((2))()(!1)(1nknkkOjkm 并且与的阶导数之间的关系为km)(knkjddjmkk kk k k),0()()()(0（2）高阶累积量定义的第二特征函数按泰勒级数展开，有x)((3))()(!)(ln)(1nknkkOjkc 并且与的阶导数之间的关系为kc)(knkjdd jdd jckk kkkkkkk  ),0()()(1)(ln100称为随机变量的阶累积量，实际上由及的连续性，存在，使kcxk1)0()(0f时，，故第二特征函数对有意义且单值（只考虑对数p0)()(ln)(p函数的主值） ，的前阶导数在处存在，故也存在)(lnn0kc(3)二者关系下面推导与之间的关系。

形式地在式(2)与式(3)中令，并利用kckmn kkkkkkjkcjkm)(!exp)(!1)(11LL  n kkkkkkkkkjkc njkcjkc)(!!1)(!! 21)(!11211比较上式中各同幂项系数，可得阶累积量与阶矩的关系如下：), 2 , 1()(Lkjkkk][11xEmc22222 122]])[[(])[(][xExExExEmmc333233 12133]])[[(])[(2)][(][3][23xExExExExExEmmmmc444 122 1312 244]])[[(61243xExEmmmmmmmc4若，则 0][xE011 mc][2 22xEmc][3 33xEmc2242 244])[(3][3xExEmmc由上可见，当随机变量的均值为零时，其前三阶累积量与前三阶矩相同，而四阶累x 积量与相应的高阶矩不相同2.多个随机变量情形(1)高阶矩给定维随机变量，其联合特征函数为n),,,(21nxxxL(4))]([exp),,,(221121nnnxxxjELL其第二联合特征函数为(5)),,,(ln),,,(2121nnLL可见，联合特征函数就是随机变量的联合概率密度函数),,,(21nL),,,(21nxxxL的维付里叶变换。

),,,(21nxxxpLn对式(4)与(5)分别按泰勒级数展开，则阶数的联合矩可用联合特征函nkkkrL21数定义为),,,(21nL02121 2121212121),,,()(][ nnnnk nkknr rk nkk kkkjxxxEmLLLLL(2)高阶累积量同样地，阶数的联合累积量可用第二联合特征函数定义nkkkrL21),,,(21nL为02121021212121212121),,,(ln)(),,,()(nnnnnk nkknr r k nkknr kkkjjc LLLLL LL(3)二者关系联合累积量可用联合矩的多项式来表示，但其一般表达式相当复杂，这 nkkkcL21nkkkmL21里不加详述，仅给出二阶、三阶和四阶联合累积量与其对应阶次的联合矩之间的关系设和均为零均值随机变量，则nxxx,,,21L4x(6a)][),(212111xxExxcumc(6b)][),,(321321111xxxExxxcumc),,,(43211111xxxxcumc][][][][][][][3241423143214321xxExxExxExxExxExxExxxxE(6c)5对于非零均值随机变量，则式(6)中用代替即可。

与单个变量情形类似，前三阶][iixEx ix联合累积量与前三阶联合矩相同，而四阶及高于四阶的联合累积量则与相应阶次的联合矩不同注意，式(6)中采用表示联合累积量的方法在以后将时常用到)(cum3.平稳随机过程的高阶累积量设为零均值阶平稳随机过程，则该过程的阶累积量定义为)}({nxkk),,,(121,kxkmmmcL随机变量的阶联合累积量，即)}(,),(),({11kmnxmnxnxLk))(,),(),((),,,(11121,kkxkmnxmnxnxcummmmcLL而该过程的阶矩则定义为随机变量k),,,(121,kxkmmmmL的阶联合矩，即)}(,),(),({11kmnxmnxnxLk))(,),(),((),,,(11121,kkxkmnxmnxnxmommmmmLL这里，表示联合矩)(mom由于是阶平稳的，故的阶累积量和阶矩仅仅是时延的)}({nxk)}({nxkk121,,,kmmmL函数，而与时刻无关，其二阶、三阶和四阶累积量分别为n)]()([)(, 2mnxnxEmcx)]()()([),(2121, 3mnxmnxnxEmmcx)()()]()()()([),,,(32, 21, 2321321, 4mmcmcmnxmnxmnxnxEmmmcxxxL)()()()(21, 23, 213, 22, 2mmcmcmmcmcxxxx可以看出，的二阶累积量正好就是其自相关函数，三阶累积量也正好等于其三)}({nx阶矩，而的四阶累积量则与其四阶矩不一样，为了得到四阶累积量，必须同时知道四)}({nx阶矩和自相关函数。

§1.3 高阶累积量的性质高阶累积量具有下列重要特性：（１） 设为常数，为随机变量，则),, 2 , 1(kiiL),, 2 , 1(kixiL),,(),,(1 111kkiikkxxcumxxcumLL （２） 累积量关于变量对称，即),,,(),,( 211kiiikxxxcumxxcumLL6其中为中的任意一种排列),,(1kii L),, 1 (kL（３） 累积量关于变量具有可加性，即),,,(),,,(),,,(1010100kkkzzycumzzxcumzzyxcumLLL（４） 如果为常数，则),,,(),,,(2121kkzzzcumzzzcumLL（５） 如果随机变量与随机变量相互独立，则),, 2 , 1(kixiL),, 2 , 1(kiyiL),,(),,(),,(1111kkkkyycumxxcumyxyxcumLLL（６） 如果随机变量中某个子集与补集相互独立，则),, 2 , 1(kixiL0),,(1kxxcumL§1.4 高斯过程的高阶累积量1.单个高斯随机变量情形设随机变量服从高斯分布，即的概率密度函数为x), 0(2Nx222 21)( x exp故有 222 )( e的第二特征函数为x(7)2)(ln)(22利用累积量与的关系式(3)，并比较(3)与(7)两式，可以得到随机变量的各阶kc)(x累积量为， ， 01c2 2c2, 0fkck由此，我们有下列结论：(1)高斯随机变量的一阶累积量和二阶累积量恰好就是的均值和方差。

x1c2cx(2)高斯随机变量的高阶累积量等于零x)2( fkck(3)由于高斯随机变量的各阶矩为x  为奇数，为偶数kkk xEmkk k0,) 1(31 ][L可见，高阶累积量与高阶矩不一样由于高斯随机变量的高阶矩并不比其二阶矩多提供信x7息，它仍取决于二阶矩的统计知识，所以人们宁愿选择高阶累积量这一统计量，直接把2多余的信息用零来处理2.高斯随机过程情形先讨论维高斯随机矢量，设其均值矢量为，协方nT nxxx],,,[21LxT naaa],,,[21La差矩阵为nnnnnncccccccccLMMLL212222111211c其中nkiaxaxEckkiiikL, 2 , 1,)])([(维高斯随机变量的联合概率密度函数为nx )()(21exp )2(1)(1 2/12/axcax cxTnp 的联合特征函数为x cωωωaωTTj21exp)(其中，T n],,,[21Lω的第二联合特征函数为x ninijinjijiiTTcajj11121 21)(ln)(cωωωaωω由于阶数的联合累积量可由第二特征函数定义为nkkkrL21nkkkcL21021212121)()(nnnk nkkr r kkkjc。