高等数学第七章(7-4.ppt

第四节 多元复合函数的求导法则,多个中间变量, 一个自变量情形,一个中间变量, 多个自变量情形,多个中间变量及多个自变量情形,,,,,,,,一、一个中间变量, 多个自变量情形,,设z=f (u)在点u可导,,,在对应点(x, y)有偏导数,,根据偏导数的定义, 由两个一元函数的复合函数求导法则,可知,,,,,(1),(2),这两个公式我们在前面已经用过.,函数的两个偏导数为,且复合,二、多个中间变量, 一个自变量情形,定理1,,,在对应点t可导,,,且复合函数的导数为,,(3),证,,设t有增量,,,,,,,,故有,上式两边同除以,, 得,,上式令,取极限, 就得到求导公式（3）这是因为,,在点t连续,,,因而,,所以有,三、多个中间变量及多个自变量情形,定理2,在相应点（x, y）有偏导数,,在点（x, y）有偏导数,,则复合函数,,,,且复合函数的两个偏导数为,,(4),(5),定理2可由定理1直接推得.,因此中间变量u及v仍可看作一元函数而应用定理1.,由于复合函数,以及,但,,,,这样便由（3）式得到（4）式,,, 再把t换作x,,上述三种基本情形都可以改为两个以上变量的情形.,定理1可改为:,,,,,在相应点t可导,,d改为,（3）式可得（5）式.,则复合函数,所以应把（3）式中的,同理由,例如,在点t可导, 且复合函数的导数为,,,即:,(偏)导数与该中间变量对该自变量的(偏)导数的乘积之和,,有几个中间变量, 对该自变量的(偏)导数就有几项这种乘积,的和.,上述三种情形的复合函数求导法则, 可用一句话概括,,复合函数对某自变量的(偏)导数, 等于函数对中间变量的,然而，实际应用时，由于外函数f 的可微性较难验证，,,而可微的充分条件是偏导数连续, 所以在实际应用中常用,,,例1:,,,,,,,解:,例2:,解:,引进中间变量, 函数z可看作如下的复合函数,而,,,由公式（4）, （5）, 可得,,两边再对y求导,,,函数,,,,这时应注意,仍然是复合,对y求导时, 仍应按复合函数求导公式进行. 因此有,因为二阶偏导数连续,,,为了避免引进中间变量的麻烦,,,,, 而用,中间变量的偏导数,,表示对第二个,, 同样引用记号,,等等.,变量的函数,第一个中间变量的偏导数,,表示对,通常用记号,即,即,引用这些记号, 直接对未引进中间,求偏导数, 就有,例3:,求,,,解:,,函数z有三个中间变量,这个复合函数可看成,, 而x, y又是自变量,,由复合函数求导法则, 可得,,例4:,解:,,转换为极坐标系中的形式:,（1）,（2）,由直角坐标与极坐标的关系式,(6),将下列表达式,,,,我们要将u对x, y的偏导数,,,,(7),应用复合函数求导法则, 得,,,,,两式平方相加, 就得到（1）的极坐标表达式,,再求二阶偏导数, 得,,,,同理可得,,两式相加, 就得到（2）的极坐标表达式,,例5:,解:,,,对u, v的偏导数所满足的方程.,为此, 需要将z对x, y的偏,有,,将所求得的二阶偏导数代入方程中, 原方程化简成,,,即,全微分形式不变性:,,函数也可微,,则z是u , v的复合函数,这时, z的全微分为,(8),(7),全微分的形式是相同的，,这一性质就称为全微分形式不变性.,利用全微分形式不变性, 容易推出下列全微分的运算法则,。