k高考第一轮复习数学直线与圆的位置关系2.docx

精品名师归纳总结本文为自本人保藏 版权全部 仅供参考7.6 直线与圆的位置关系●学问梳理直线和圆1. 直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式 Δ 来争辩位置关系 .① Δ ＞0，直线和圆相交 .② Δ =0，直线和圆相切 .③ Δ ＜0，直线和圆相离 .方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离 d 和半径 R 的大小加以比较 .① d＜R，直线和圆相交 .② d=R，直线和圆相切 .③ d＞R，直线和圆相离 .2. 直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程 .求圆的切线方程主要可分为已知斜率k 或已知直线上一点两种情形，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.3. 直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题 .●点击双基1.（ 2005 年北京海淀区期末练习题）设 m>0，就直线 2 （ x+y） +1+m=0 与圆 x2+y2=m的位置关系为A. 相切 B. 相交C.相切或相离 D. 相交或相切解读：圆心到直线的距离为 d= 1 m ，圆半径为 m .2可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结∵ d－ r = 1 m － m =21 （m－ 2 m +1） =21 （ m － 1） 2≥ 0，2可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结∴直线与圆的位置关系是相切或相离 .答案： C2.圆 x2＋ y2－ 4x+4y+6=0 截直线 x－ y－ 5=0 所得的弦长等于可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结5 2A. 6 B.2C.1 D.5可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结解读：圆心到直线的距离为答案： A2 ，半径为 2 ，弦长为 22〔 2 〕 2〔 2 〕 22= 6 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结3.（ 2004 年全国卷Ⅲ， 4）圆 x2+y2 －4x=0 在点 P（ 1， 3 ）处的切线方程为A. x+ 3 y－ 2=0B. x+ 3 y－ 4=0C.x－ 3 y+4=0D. x－ 3 y+2=0可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结解法一：x2+y2－ 4x=0 y=kx－ k+ 3x2－ 4x+（ kx－ k+ 3 ）2 =0.该二次方程应有两相等实根，即 Δ=0，解得 k= 3 .3可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结∴ y－ 3 =3 （ x－ 1），即 x－ 3 y+2=0.3可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结解法二：∵点（ 1， 3 ）在圆 x2+y2－ 4x=0 上，∴点 P 为切点，从而圆心与 P 的连线应与切线垂直 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结又∵圆心为（ 2， 0），∴ 023 · k=－1.1可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结解得 k=答案： D3 ，∴切线方程为 x－ 3 y+2=0.3可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结4.（ 2004 年上海，理 8）圆心在直线 2x－ y－ 7=0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A（0，－4） 、 B（0，－ 2），就圆 C 的方程为 .解读：∵圆 C 与 y 轴交于 A（ 0，－ 4）， B（ 0，－ 2），∴由垂径定理得圆心在 y=－ 3 这条直线上 .又已知圆心在直线 2x－ y－7=0 上，y=－3，可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结∴联立解 得2x－ y－7=0.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结∴圆心为（ 2，－ 3），可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结半径 r =|AC |= 2 2[ 3 〔4〕] 2= 5 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结∴所求圆 C 的方程为（ x－2） 2+（ y+3 ）2=5.答案：（ x－ 2） 2+（ y+3） 2=5可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结5.如直线 y=x+k 与曲线 x=解读：利用数形结合 .21 y 恰有一个公共点，就 k 的取值范畴是 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结答案：－ 1＜ k≤ 1 或 k=－ 2●典例剖析【例 1】 已知圆 x2+y2+x－6y+m=0 和直线 x+2y－ 3=0 交于 P、Q 两点，且 OP⊥ OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径 .剖析：由于 OP⊥ OQ，所以 kOP· kOQ=－ 1，问题可解 .解：将 x=3－ 2y 代入方程 x2+y2+x－ 6y+m=0，得 5y2－ 20y+12+m=0.设 P（ x1， y1）、 Q（ x2， y2），就 y1、y2 中意条件y1+y2=4， y1y2= 12 m .5∵ OP⊥ OQ，∴ x1x2+y1 y2=0.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结而 x1=3－ 2y1，x2 =3－ 2y2，∴ x1x2=9 － 6（ y1+y2） +4y1y2.∴ m=3，此时 Δ ＞ 0，圆心坐标为（－1 ， 3），半径 r = 5 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结2 2评述：在解答中，我们接受了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧，但必需留意这样的交点是否存在，这可由判别式大于零帮忙考虑 .【例 2】 求经过两圆（ x+3） 2+y2=13 和 x2+（ y+3） 2=37 的交点，且圆心在直线 x－ y－4=0 上的圆的方程 .剖析：依据已知，可通过解方程组（x+3） 2+y2=13 ，可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结2 2x +（ y+3）=37得圆上两点，可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结由圆心在直线 x－y－ 4=0 上，三个独立条件，用待定系数法求出圆的方程。

也可依据已知，设所求圆的方程为（ x+3） 2 +y2－ 13+ λ ［ x2+（ y+3） 2－ 37］ =0，再由圆心在直线 x－ y－ 4=0 上，定出参数 λ ，得圆方程 .解：由于所求的圆经过两圆（ x+3） 2+y2=13 和 x2+（y+3） 2=37 的交点，所以设所求圆的方程为（ x+3） 2+y2－ 13+ λ［ x2+（ y+3 ） 2－ 37］ =0.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结3 2 32 4 289〔1 2 〕可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结开放、配方、整理，得（ x+1） +（y+ ） =1 1+ 〔1 〕 2 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结圆心为（－3 ，－13 ），代入方程 x－ y－4=0 ，得 λ=－ 7.1可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结故所求圆的方程为（ x+1 ） 2+（ y+27 ） 2=289 .2可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结评述：圆 C1： x2+y2+D 1x+E1y+F1=0，圆 C2： x2+y2+D2x+E2y+F2=0，如圆 C1、C2 相交， 那么过两圆公共点的圆系方程为（ x2+y2+D 1x+E1y+F1 ） +λ （ x2+y2+D2x+E2y+F2） =0 （ λ ∈R 且λ ≠－ 1） .它表示除圆 C2 以外的全部经过两圆 C1、C2 公共点的圆 .特别提示在过两圆公共点的图象方程中，如 λ=－ 1，可得两圆公共弦所在的直线方程 .【例 3】 已知圆 C：（ x－1） 2＋（ y－ 2） 2＝ 25，直线 l：（ 2m+1） x+（ m+1） y－7m－4=0 （ m∈ R） .（ 1）证明：不论 m 取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点。

2）求直线被圆 C 截得的弦长最小时 l 的方程 .剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得 .（ 1）证明： l 的方程（ x+y－ 4） +m（ 2x+y－ 7） =0.2x+y－ 7=0 ， x=3，可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结∵ m∈ R，∴x+y－4=0 ，得y=1，可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结即 l 恒过定点 A（ 3，1） .∵圆心 C（ 1，2），｜ AC｜＝ 5 ＜5（半径），∴点 A 在圆 C 内，从而直线 l 恒与圆 C 相交于两点 .（ 2）解：弦长最小时， l⊥ AC，由 kAC＝－ 1 ，2∴ l 的方程为 2x－ y－ 5=0.评述：如定点 A 在圆外，要使直线与圆相交就需要什么条件了？可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结摸索争辩求直线过定点，你仍有别的方法吗？●闯关训练夯实基础1. 如圆（ x－ 3） 2＋（ y+5 ） 2＝ r 2 上有且只有两个点到直线 4x－ 3y=2 的距离等于 1，就半径 r 的范畴是A. （4， 6） B.［4， 6） C.（ 4，6］ D.［ 4， 6］ 解读：数形结合法解 .答案： A2.（ 2003 年春季北京）已知直线 ax+by+c=0（ abc≠0）与圆 x2+y2=1 相切，就三条边长分别为｜ a｜、｜ b｜、｜ c｜的三角形A. 是锐角三角形 B. 是直角三角形C.是钝角三角形 D. 不存在可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结解读：由题意得|a 0 b 0a 2 b2c | =1，即 c2 =a2+b2，∴由｜ a｜、｜ b｜、｜ c｜构成的三可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结角形为直角三角形 .答案： B3.（ 2005 年春季北京， 11）如圆 x2+y2+mx－ 的左侧，就 m 的值为 .1 =0 与直线 y=－ 1 相切，且其圆心在 y 轴4可编辑资。