数学与应用数学优秀毕业设计（论文）.docx

学号:200921140207本科生毕业论文论文题冃：函数项级数的收敛判别法探究作者：院系：数学与计算机科学学院专业：数学与应用数学（或计算机科学与技术、信息与计算 科学、软件工程）班级：指导教师：2013年5月 日NO.： 200921140207Huanggang Normal UniversityThesis GraduatesTopic: The convergence criterion of series expressed by functionAuthorterms: Dai LeCollege: College of Mathematics and Computer ScienceSpecialty: Mathematics and Applied Mathematics(or Computer Science and Technology,or Information and Computing Science,or Software Engineering)May Xth, 2013郑重声明本人所呈交的毕业论文（设计）是本人在指导教师夏丹 的指 导下独立研究并完成的。

除了文中特别加以标注引用的内容外，没有 剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权行为，本人完全 意识到本声明的法律后果由本人承担特此郑重声明！指导老师（签名）：论文作者（签名）:2013年5月X日摘要函数项级数在数学科学本身和工程技术领域都有重要应用.函数项级数和 函数列的一致收敛性问题往往是数学分析的重点，又是难点，不易理解和掌握 而函数项级数的一个基本问题就是研究其一致收敛性，但是一致收敛的判别比较 困难，函数项级数s(x)在区间I上的一致收敛性与部分和函数列⑻⑴｝的一 致收敛性是等价的二一种白然的思想是将正项级数的判别法推广到函数项级数一 致收敛的判别法上去前，正项级数的D Alembert判别法、Cauchy判别法、 Raabe判别法和它们的极限形式顺利地推广到了畅数项级数的一致收敛的判别上. 此外，还有很多种判别函数项级数一致收敛的方法，这些方法视条件而定：1在和函数Sd)或极限函数于(兀)可以求出的情况下,可以用定义co2利用余项的一致收敛性：｛/(%)在区间/上一致收敛的充要条件是 8 n=\乙(力=工匕(朗在/上一致收敛于0, R卩!(兀)1=(),丨九(切|在/上一致收 敛于 充要条件是 limSup I /,(x)-/(x)l=0.3利用Cauchy准则(函数项级数和函数列均可用).4利用函数项级数一致收敛的M判别法(Weierstrass判别法).5利用函数项级数一致收敛的Dimchler判别法和Abel判别法.6利用结论：如果函数列l/,(x)l在［a问上收敛于f(x),且每一九⑴在［诃 上满足 Lipschitz 条件，即存在 M〉0, W I ffl(x)-ffl(y)l＜Mlx-ylf 列，n=l,2,……侧｛fn(x)｝在［a.b］上一致收敛于/(x).7利用结论：如果可微函数列｛fn(x)｝在［a问上收敛于/(x),且｛/；(%)｝在 ［,列上一致收敛于/(8利用Dini定理(函数项级数和函数列均可用)8(i) 致收敛；(ii)9利用结论：设幕级数5＞〃兀”的收敛半径&0,贝0当t^x或!＞仲)“收敛时,t^x在El (或［—&0］)上一 n=\ ?i=0 n=l00 8当在［-尺尺］内一致收敛当且仅当R"在［-上一致收 n=l n=l本文旨在对上述两数项级数收敛判别的方法进行全面的总结和探究. 关键词：函数项级数、一致收敛AbstractSeries expressed by function terms in the field of mathematics and engineering science itself has important application.Function series and function of uniform convergence problem often is the key point of mathematical analysis.it is difficult,not easy to understand and grasp. And function studies series one of the basic problem is that the uniform convergence ,but the uniform convergence criterion is more difficult,in the uniform convergence of the series expressed by function terms consistent with the part and function of convergence are equivalent. A natural thought is the criterion.At present,thePosistive SeriesD^ Alembertcriterion,Cauchycriterion ,Raabe discriminant method and the limits of their form has been generalized to function successfully a series of uniform convergence criterion.In addition,there are a number of discriminant function is a series of uniform convergence of the method ,these methods depending on the con d 让 io ns:1 • in or limit function can be calculated and the function,can use the definition.2. more than using the uniform convergence:the necessary and sufficient condition of uniform convergence in the range is on the uniform convergence to zero.i.e.the necessary and sufficient condition of uniform convergence in the is=0・3. using Cauchy criterion(function series and column are available).4. using the function of the M series of uniform convergence (Weierstrassdiscriminant method).5. using the series of uniform convergence of Dimchler discriminant method and Abel discriminant method.6- with the conclusion that if a function listed in converges to,and each in satisfied the Lipschitz condition,that is,make,n= 1,2,.. .,the uniform convergence in.7. using the conclsion:if the convergence in differentiable function on,and on the uniform convergence in the・8. Dini theorem(function series and column are available)9. use conclusions power series and column are available,and is(i) when or convergence,uniform convergence on (or);(ii) when on the uniform convergence if and only if in uniform convergenceThis paper aimed to the convergent series expressed by function terms discriminant method carries on the comprehensive summary and explorationKeywords: function series,uniform convergence目录第一章绪论 11.1弓丨言 11.2定义: 11.2.1函数项级数定义 11.2.2函数项级数一致收敛性的定义 11.3函数项级数一致收敛的判定方法 31.3.1定理1 （柯西一致收敛准则） 41.3.2定理2 （余项判别法） 41.3.3定理3 （魏尔斯特拉斯判别法） 51.3.4定理4 （狄利克雷判别法） 51.3.5定理5邙可贝尔判别法） 61.3.6 定理 6 7第二章函数项级数的收敛判别方法应用 8函数项级数的收敛判别法应用摘要：函数项级数的收敛判别问题是函数项级数问题中最基木鼠重要的问题，在研究函 数项级数收敛的问题时可借鉴一些数项级数的方法，本文对函数项级数的收敛判别方法及其 应川做了全面细致的阐述关键词：函数项级数、收敛判别1引言函数项级数作为数项级数的推广,在研究内容上同数项级数有许多极其相似的地方，比 如它们的收敛性、和的问题，但函数项级数还有一点不同于数项级数,就是关于它的一致收 敛性。

对比数项级数的收敛性和函数项级数的一致收敛性判别法，不难发现，它们在判断方法 上极其相似，特别是在它们判别法的名称上，比如它们都有Cauchy判别法、Abel判别法等.对 于函数项级数的一致收敛性，有没有类似丁•数项级数收敛性判别的其它方法，是一个值得研 究的课题•函数项级数在一致收敛的条件下，可以讨论其和函数的连续性、对微性以及可积 性.函数项级数在一-致收敛吋，求和和求导、求和和求积分的顺序可以交换顺序.并且，往往 交换顺序以后方便我们解决一些函数项级数中的基本问题.这个应用非常重要，因此，本文 将对函数项级数收敛判别的方法进行全而的总结.2定义：2.1函数项级数定义2.1.1 定义 设｛u“（x）｝是定义在数集E上的一个函数列，表达式U］（X）+U2（X）+・・・ + U〃（X）+ xwE00称为定义在E上的函数项级数，简记为工知（兀）或工知（兀）称片（兀）=工畋（兀），xg E,n=l,2,--.为函数项级数的部分和函数列2.2函数项级数一致收敛的定义00若函数项级数工知(X)的部分和函数列｛s〃(X)｝在数集D上一致收敛于5(%),则n=\PC 00称函数项级数工叫(%)在D上一致收敛于S(x)或称工知(x)在D上一-致收敛.〃=1 n=\我们可以看到，函数项级数工知(X)的一。