四川大学2021年《微积分》期末考点汇总.docx

1、 求方程ex-sec2x=0在区间（0，π2）内的根的个数 解释：ex=sec2x=1cos2x考虑单调性如图1 当x→π2时，1cos2x→+∞， 因x∈0，π2,故只有①②两种情况，即最多只有一个根 因y1=ex, y1'=ex| x=0=1；y2=1cos2x，y2'=1cos2x'= sinxcos3x x=0=0 故y2必有小于y1的一段，也即其图像为②，所以只有一个根 图12、 dxxlnxlnlnx 解释： 令lnx=t, x=et, dx=etdt 则原式= 1et∙tlnt∙etdt= 1tlntdt= 1lntdlnt=lnlnt+C3、 x39+x2dx 解释： 原式=12x29+x2dx2=129+x2-99+x2d9+x2=12239+x232-189+x212+C=139+x232-99+x212+C4、 F(x)在x=0的某个邻域处二阶导存在，且limx→0sin4x+xf(x)x3=0，求f0,f'0,f''0。

解释：由题意知：原式=limx→04+f(x)x2=limx→0f'(x)2x 得到f'0=0=limx→0f'x-f'02x=f"(0)2=0x→0时，f0=-4；f'0=0；f"(0)=05、 [lnx+1+x2]'= 解释：原式=1x+1+x21+x1+x2=11+x26、 x2arctanx1+x2dx 解释： 原式= arctanx-arctanx1+x2dx=x∙arctanx- x1+x2dx- arctanxd（arctanx） =arctanx-12 d1+x21+x2-12arctan2x=xarctanx-12arctan2x-12ln1+x2+C7、 x+sinx1+cosxdx 解释：原式= x1+cosxdx- d1+cosx1+cosx=xtanx2+2ln[cos(x2)]-ln1+cosx+C 8、 limx→1xx-xlnx-x+1 解释： 原式=limx→1exlnx-xlnx-x+1=limx→1exlnxlnx+1-11x-1=limx→1exlnxlnx+12+exlnx∙1x-1x2=-29、 e2xtanx+12dx 解释： 原式= e2xsec2x+2tanx dx=e2x sec2xdx+2 e2xtan xdx 由于e2x sec2xdx=e2xdtanx=e2xtanx-2 e2xtanxdx 所以原式=e2xtanx-2 e2xtanxdx+2 e2xtan xdx=e2xtan x+C10、 x2a2-x2dx,x>0 解释： 令x=asint, dx=acostdt 所以原式= a2sin2tacost.acostdt=a2 1-cos2t2dt=a2t2-a24sin2t= a2arcsinax2-a22sint∙cost=a2arcsinax2-xa2-x2211、 数列xn收敛于实数a等价于（ ）Ａ．对∀ε>0，在a的邻域内有xn的无穷多项；Ｂ．对∀ε>0，在a的邻域内有xn的有穷多项；Ｃ．对∀ε>0，在a的邻域外有xn的无穷多项；Ｄ．对∀ε>0，在a的邻域外有xn的有穷多项； 解释：D。

见定义12、 ｆ1+lnx1-lnx=1x，则fx= 解释： 设t=1+lnx1-lnx=21-lnx-1，1-lnx=2t+1，x=et-1t+1则ft=1x=e-t-1t+1=e1-tt+1，即fx=e1-xx+113、 证明：若limn→∞an=a，则limn→∞an=a的逆命题是否成立？解释： 证明：不成立如已知an=5+1n，n＞0-5+1n，（n＜0），则limn→∞an=5， 但limn→∞an不存在 14、 dx1+1-x2解释：原式= 1-1-x2x2dx=1x2 dx- 1-x2x2dx由于1x2 dx=-1x， 1-x2x2dx=-1-x2 d1x=-1-x2x + -11-x2dx=-1-x2x - 11-x2dx=-1-x2x +arccosx+C所以原式=1x2 dx- 1-x2x2dx=-1x+1-x2x -arccosx+C15、 1a2-x2dx(a>0)解释：令x=asint，故原式= 1acostdasint= dt=t+C=arcsinax+C16、 limx→∞ax+bx23x，其中a,b为常数，a>0,b>0。

解释：原式=e3xlnax+bx2由于lnax+bx2x=2ax+bxaxlna+bxlnb=2axlna+bxlnbax+bx=2lna+lnb1+1（除上a与b最大值的X次方，再令x趋于无穷）=lnab所以原式=e3lnab=ab3=a3b317、 dxx2+a2n解释： 令x=atant，则原式= 1a2tan2t+1ndatant= 1a2n1cos2tndatant= 1a2ncos2nt∙acos2tdt= a1-2ncos2n-2tdt =…… 18、 x3x2+9dx解释：原式=12x2x2+9dx2=121-9x2+9dx2+9=12x2+9lnx2+9+C19、 证明：x>0时，x2-2ax+10)解释：令f(x)= x2-2ax+1-ex，得f'x=2x-2a-ex，f"(x)=2-exf'x在0，ln2↑,ln2，∞↓ f'x有最大值f'ln2<0 fx始终小于f0=0 x2-2ax+10x+1，x≤01） 研究f(x)在x=0处的连续性；（2） 问x为何值时f(x)取得极值。

解释：（1） 左极限：limx→0-(x+1)=1右极限：limx→0+x2x=1左极限=右极限=f(0)=1 f(x)在0处连续（2） f(x)在-∞,0上单调递增，在0,+∞上f'x=x2x2lnx+2，且x=e-1时，f'x=0因此，fx在-∞,0上↑，在0,e-1上↓，在e-1,+∞上↑极大值f(0)=1；极小值f(e-1)= e-2e-121、 dx1+ex2+ex3+ex6解释：令t=ex6，则x=6lnt所以原式= 11+t+t2+t3d(6lnt)=6 1t+t2+t3+t4dt=6[ 1t-3t2t2+1- 12t+1-12t2+1]dt=6lnt-3lnt+1-3arctant-92lnt2+1将t=ex6代入得原式=x-3lnex6+1-3arctanex6-92ln(ex3+1)22、 x2arctanx1+x2dx解释： 原式= 1+x2-1arctanx1+x2dx= arctanxdx- arctanx1+x2dx 对于 arctanxdx，令θ=arctanx即x=tanθ，从而 arctanxdx= θdtanθ=θtanθ- tanθdθ=θtanθ+lncosθ+C=x∙arctanx+ln1x2+1+C； 对于 arctanx1+x2dx= arctanxdarctanx=12arctanx2+C。

综上，原式=12arctanx2+x∙arctanx+ln1x2+1+C23、 x+sinx1+cosxdx解释：原式= (x1+cosx+sinx1+cosx)dx=x2cos2x2dx-ln1+cosx=xdtanx2-ln1+cosx=xtanx2+2lncosx2-ln1+cosx+C24、 x31+x2dx解释：原式=12x2x2+1dx2=12x2+1-1x2+1dx2+1=131+x232-1+x212+C25、 fx=x+1-1x，x≠00， x=0 ，则x=0是fx的 点解释：limx→0fx=limx→0x+1-1x=limx→012x+1=12≠f0 x=0是第一类可去间断点。