北京四中数学高考总复习之排列与组合(共24页).doc
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精选优质文档-----倾情为你奉上一、排列与组合 一、教材分析: 1．基本概念:排列与排列数、组合与组合数 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数用符号表示 2．基本公式: =n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=(规定0!=1) =(规定=1) 3．排列组合的解题原则: （1）深入弄清问题的情景 要深入弄清问题的情景，切实把握各因素之间的相互关系，不可分析不透，就用或乱套一气具体地说:首先要弄清有无“顺序”的要求，如果有“顺序”的要求，用，如果无“顺序”要求，就用；其次，要弄清目标的实现，是分步达到的，还是分类完成的，前者用分步计数原理，后者用分类计数原理事实上，一个复杂的问题，往往是分类和分步交织在一起的，这就要准确分清，哪一步用分步计数原理，哪一步用分类计数原理。
（2）两个方向的解题途径 对于较复杂的问题，一般都有两个方向的列式途径，一个是正面直接解，一个是反面排除法前者是指按要求，一点一点选出符合要求的方案，后者是指先按照全局性的要求，选出方案，再把不符合其他要求的方案排除掉 这两个途径的优劣因题而异一般地，一道题目“正面解”很繁琐时，“反面排除”往往简单，反之亦然 （3）分析问题的两个方向 分析问题时，我们往往从元素和位置两个方向插手，一般情况，从算理上说，从特殊元素和特殊位置两个方向都能解决问题但具体问题从特元与特位上作对比，则可能大相径庭，差距很大因此平常做题时，这两种训练都要进行 （4）特别强调一题多解 一题多解，可以从不同角度分析同一问题，加深对分类计数原理、分步计数原理及排列组合的深刻认识与体会，同时，一题多解也是解排列组合问题最有效，最主要的检验方法 4．对常见问题分类总结 关于数字问题，要注意“0”这个特元，关于人或物的排列问题，要注意元素相邻，往往采取“捆绑法”看成一个整体，元素不相邻，则往往采取“插空”的方法 二、例题分析 例1．（1）用0，1，2，3，4组合多少无重复数字的四位数？（2）这四位数中能被3整除的数有多少个？ 解:（1）直接分类法: ①特元法: ②特位法:先考虑首位，可以从1，2，3，4四个数字中任取一个，共种方法，再考虑其它三个位置，可以从剩下的四个数字中任取3个。
即种方法，则共有=96种方法，即96个无重复数字的四位数 间接排除法:先从五个数字中任取四个排成四位数:，再排除不符合要求的四位数即0在首位的四位数:则共有=96个 （2）能被3整除的四位数应该是四位数字之和为3的倍数 分析:因为不含0时，1+2+3+4=1010不是3的倍数，所以组成的四位数必须有0，即0，1，2，3或0，2，3，4，共有2()=36个 例2．用0，1，2，3，4五个数字组成无重复数字的五位数从小到大依次排列1）第49个数是多少？（2）23140是第几个数？ 解:（1）首位是1，2，3，4组成的五位数各24个所以第49个数是首位为3的最小的一个自然数，即30124 （2）首位为1组成=24个数； 首位为2，第二位为0，1共组成=12个数 首位为2，第二位为3，第三位为0的数共=2个；首位为2，第二位为3，第三位为1，第四位为0的数有1个，为23104 由分类计数原理: +++1=39 按照从小到大的顺序排列23104后面的五位数就是23140，所以23140是第40个数 例3．5男6女排成一列，问 （1）5男排在一起有多少种不同排法？ （2）5男都不排在一起有多少种排法？ （3）5男每两个不排在一起有多少种排法？ （4）男女相互间隔有多少种不同的排法？ 解:（1）先把5男看成一个整体，得，5男之间排列有顺序问题，得，共种。
（2）全排列除去5男排在一起即为所求，得 （3）因为男生人数少于女生人数，利用男生插女生空的方法解决问题，得 （4）分析利用男生插女生空的方法，但要保证两女生不能挨在一起，得 例4．3名医生和6名护士被分配到3个单位为职工体检，每单位分配1名医生和2名护士，不同的分配方案有多少种？ 解:3名医生分到3个单位有种方案，6名护士分到3个单位，每个单位2名有种，根据分步计数原理，共有=540种方案 例5．四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个点，可以组成多少个不同的三棱锥？ 解:组成三棱锥，只需4个点不共面，考虑到直接法有困难，故采用间接排除法 从10个点中任取4个点有中，其中4个点共面有三类情况: ①4个点位于四面体的同一面中，有4种； ②取任一条棱上的3个点，及该棱对棱的中点，这四点共面共有6种； ③由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4个顶点共面有3种，所以不同的取法共有-4-6-3=141种 例6．求证（1）；（2） 证明: （1） 另一种解释:对于含某元素a的(n+1)个元素中取m个元素的排列可分为两类，一类是不含元素a的，有个；另一类是含元素a的，有m个，因此共有(+m)个，即+m=。
（2） ∴ 另一种解释:对于含有某元素a的(n+1)个元素中取m个元素的组合可分为两类，一类是不含元素a的，有个；另一类是含元素a的有个，因此共有(+)个，即 三、课外练习: 1．用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） A、24个 B、30个 C、40个 D、60个 2．5男2女排成一排，若女生不能排在两端，且又要相邻，不同的排法有（ ） A、480种 B、960种 C、720种 D、1440种 3．某天课表中6节课需从4门文科，4门理科中选出6门课程排出，其中文科交叉排，且一、二节必须排语文、数学，则不同的排法共有_________种 4．在50件产品中有4件是次品，其余均合格，从中任意取出5种，至少3件是次品的取法共有________种 5. 正方体的8个顶点可确定不同的平面个数为________，以这些顶点为顶点的四面体共有__________个 参考答案: 1．A 2. B 3. 72 先选出另两门文科，理科有种，又因为文科交叉且一、二节必须排语文，数学有种，所以有=72种。
4．=4186 5．① +12=20 ② -26=58 测试窗体顶端 选择题 1． 不等式>3的解集是（ ） A、{x|x>3} B、{x|x>4, x∈N} C、{x|3
2．选B 3．选B 4．选C5个独唱节目的排法是，舞蹈不需排在头一个节目，又需任何两个舞蹈节目不连排，只要把舞蹈节目插入独唱节目构成的5个空隙中即可，即舞蹈的排法是，故选择C 5．选B先考虑非零的5个数字，它们可以组成不同的直线是-2条，再加入A、B中恰有一个不为零时所表示的两条直线，故选B 6． 2(4!-23!)=24，故本题应选C 7．不考虑不能停靠的车道，5辆车共有5！=120种停法 A停在3道上的停法：4！=24种； B停在1道上的停法：4！=24种； AB分别停在3道、1道上的停法：3！=6种 故符合题意的停法：120-24-24+6=78种故本题应选A 8．末位只能取1，3，5，只有3种可能，首位又不能取0，只有4种可能，共有34种可能，故本题应选A 9．由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的六位数共有个，其中个位数字小于十位数字与十位数字小于个位数字的个数是一样的因此满足条件的六位数共有：=300个，故本题应选B 10．解法1：种 解法2：种解法3：种故本题应选A北 京 四 中 排列、排列数公式疑难问题解析 1．理解排列的概念，必须注意以下几点： (1)定义中规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况。
也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不能再取了，否则就变成了取出两个相同的元素 (2)在定义中，包含两方面的内容： 第一是选元素从n个不同元素中任取m个不同元素”，要注意被取的元素是什么？取出的元素又是什么？即明确问题中的n和m各是什么 第二是排顺序将取出的m个元素按照一定的顺序排成一列有排顺序的要求是排列问题中的本质属性 (3)由于是从n个不同元素中取出m个不同元素，因此必有m≤n，当m=n时，即所有元素都取出的排列，这种。
