第二十九讲用份数法解题.doc

第二十九讲 用“份数法"巧解应用题有些应用题含有几上量，并且几个量之间成倍数关系，在解题时先确定一倍的量,将一倍的量看做“一份”,将几倍的量看做“几份”.然后再根据其他条件列式解答,求出最后的部题我们就把这种解应用题的方法叫做份数法用份数法解题的关键是先要确定出几个量之间的倍数关系，确定出一倍的量及几倍的量，将一倍的量看做一份，将几倍的量看做几份有些复杂的数学应用题,从份数入手可以巧妙地求解，不但可以简化思路,而且独辟蹊径，令人耳目一新.一、 用“份数法”解答工程问题有些工程应用题，可以根据题中的已知条件，将工作总量、几个工队的工作量或每个工队单个时间的工作量看做“份数”，利用份数关系解答，数量关系会更加简明清楚难题点拨甲管注水速度是乙管的一半,同时开放甲管向池中注水,16小时可以注满.现在先开甲管向池中注水若干小时，剩下的由乙管注10小时将水池注满问：甲管先注水多少小时？点拨　 设甲管１小时的注水量为１份,则乙管1小时的注水量是２份，全池水为（1+２）×１6=48（份)，所以甲管先注水4８—20=28（份）甲管注水时间是28÷1=２８（小时）答：甲管先注水28小时难题点拨‚甲、乙、丙三名搬运工同时分别在三个条件和工作量完全相同的仓库工作，搬完货物甲用8小时,乙用10小时，丙用12小时。

第二天三人又到两个较大的仓库搬运货物,这两个仓库的工作量也相同，甲在A仓库,乙在B仓库,丙先帮甲后帮乙，结果干了２0小时后同时搬运完毕问：丙在Ａ仓库做了多少小时? 点拨 由三名搬运工分别搬完条件和工作量完全相同的三个仓库的货物,甲需8小时，乙需10小时，丙需12小时，可以分别求出三人的工作效率，甲是，乙是,丙是三人工作效率的比是：：＝1５：12:10，即在相同的时间里，甲做15份，乙做12份，丙做10份工作，三人一共做15＋12+１0=３７（份)工作.三人在相同的时间里(２0小时）搬完了两个仓库的货物，每个仓库的货物量是37÷２＝18.５（份)甲搬了15份货物,因此,丙帮甲搬了18.５－１5=３5（份）货物 　三人的工作效率比为:：：=1５:１２:10 　 每个仓库的货物量是：（１5+12+10)÷2＝１85(份）　 　丙帮甲搬了：１85—１５=3.５（份）　 丙帮甲搬的时间是20÷10×3．5=7（小时)　 答：丙在A仓库做了７小时二、 用“份数法”解答比的应用题　 在行程问题中,两个数的比往往表现为两个动动的物体速度的比或运动路程的比：在工程问题中，两个数的比往往表现为两队工作效率的比或两队工作量的比-——---如果知道两个数的比，可以将两个数分别看做“份数",将两个数比的关系转化为份数关系。

　 难题点拨ƒ 　一种铜和铝的合金重15０千克,而铜和铝的质量比是2:3问：这种合金中铜比铝少多少千克? 点拨　 铜和铝的质量比是2:3,即铜是2份，铝是3份，铜各铝共２＋３=5（份）,铜比铝少3—2=1(份),因此，1份的量是铜比铝少的质量数150÷（2+3)=30（千克）答:这种合金中铜比铝少30千克难题点拨④　 甲、乙两车分别从A， B两地同时出发，相向而行.出发时，甲、乙两车的速度比是5:４,相遇后甲车的速度减少20％,乙车的速度增加2０％，这样当甲车到达Ｂ地时，乙车离A地还有1０千米Ａ , B两地相距多少千米？　点拨 根据题意,可以把A ， Ｂ两地的路程平均分成9份,则相遇时甲车行了5份，乙车行了4份,相遇后甲、乙两车的速度比［5×（1-２0％)］ :[4×（1+20％）］＝4：4所以当甲车用新的速度行完４份路程时,乙车行了48份,这样离A地还有５—4.8=０．2（份），这０.2份正好是10千米，所以A， B两地相距１0÷0.2×9＝450（千米）答：A ,B两地相距450千米难题点拨⑤甲、乙两车分别从A　，B两地同时出发相向而行.出发时，两车的速度比是３：2，两车相遇后甲车的速度提高了２0％,乙车的速度提高了30％.这样当甲车到达Ｂ地时，乙车离A地还有5６千米。

A, B 两地相距多少千米？点拨　 这道题如果依照常规直接分析,寻找56千米的对应分率，难度很大，解法也很繁琐，但是如果用“份数法"解答，就容易得多.由于两车的速度比为3:2，如果假设A ，B两地的距离是５份，那么两车相遇时，甲车生了总路程的3份,乙车行了总路程的2份两车相遇后，由于甲车的速度提高了２0％，乙车的速度提高了30%，那么乙车的速度是甲车速度的=两车相遇后，当甲车再行2份路程到达Ｂ地时，乙车的行程为2×=1(份）.这样56千米的对应分率是3-1=1所以A ，B两地间的距离是:56÷［3－2％]×（3+2）=５6÷[3—1]×５=５6÷1×５=18０（千米)答：A ,B两地相距180千米三、 用“份数法”解答分数、百分数应用题 　 分数、百分数应用题往往可以转化成“份数”进行解答,而且解答方法更加巧妙、简便难题点拨　 小林买了一支圆珠笔和一支钢笔共用去12元,圆珠笔的单价是钢笔的圆珠笔和钢笔的单价各是多少元？点拨 用“份数法”解答.因为“圆珠笔的单价是钢笔的”,如果将一支圆珠笔的价钱看做1份,那么一支钢笔的价钱就是5份,两种笔的总价钱就是5+1=６(份），即12元.可以分别求出一支圆珠笔和一支钢笔的价钱.一支圆珠笔多少元？12÷（5+1)=2(元）一支钢笔多少元？2×5=10(元)答：圆珠笔的单价是2元,钢笔的单价是10元.难题点拨⑦　 甲、乙两箱苹果，每箱装2０04个，现在从乙箱拿出若干苹果放入甲箱后,甲箱的苹果数恰好比乙箱多4０％。

从乙箱放到甲箱的苹果有多少个?　 点拨 两箱苹果数变动后，甲箱苹果数是乙箱苹果数的14０％，即，因此，把变动后乙箱的苹果数看做5份,甲箱的苹果数就是７份,两箱苹果的总数为５+7=１2（份）,原来每箱有12÷2＝6（份）.从乙箱拿到甲箱的苹果恰好占6－5=1（份），即２00４÷6＝344（个）答：从乙箱放到甲箱的苹果有３３４个难题点拨⑧ 　一个数增加它的后是4.9,这个数是多少？ 点拨 　根据题意画图如下:将“一个数"看做5份增加,就是增加了2份，则这个数现在是（５+2)份为４9，所以１份是４9÷（5+2）=0．７因此，这个数就是0.7×5=３．５答:这个数是３.5难题点拨⑨ 某汽车厂去年计划生产汽车1260０辆，结果上半年完成全年计划的，下半年完成全年计划的去年超产汽车多少辆? 　 点拨 因为“上半年完成计划的，下半年完成全年计划的"，所以全年就完成了计划的＋=．将全年计划看做单位“1”，平均分成4５份,完成了5２份，超产了(5２-45）份 　 如果求出1份的量，就可以求出超产汽车的数量1份是：１2６００÷45=280(辆）超产了(５2—45)份，所以超产了：280×(5２－45)=1９6０（辆）答：去年超产汽车1960辆。

难题点拨⑩水果店昨天卖出水果36千克，比前天多卖出水果店前天卖出水果多少千克?点拨　 由题中条件可知，如果将前天卖出的水果看做单位“1”，昨天卖出的水果就是前天的1+=这样前天卖出的水果就是8份,昨天卖出的水果就是9份9份是3６千克,所以１份就是36÷9=4(千克)前天卖出了8份，前天卖出的水果４×8＝３2（千克）答:水果店前天卖出水果３2千克.四、 用“份数法”解答他应用题难题点拨（11）远望巍巍塔七层,红灯点点倍加增，共灯三百八十一问:每层各有几盏灯？点拨 因为相邻两层灯的数量成倍数关系,所以此题可用份数法解答显然,这塔上的灯是上少下多.现在将从上到下的第一层(最上层)灯的数目看做1份，则以下各层灯的数目分别是2，4,6，8，1６，３2，６4份,整座塔上灯的总份数就是1＋2+４+8＋16＋32+６4=１2７（份）可以算出1份的数是381÷１27=3（盏)从上到下各层灯的盏数分别是：第一层3盏，第二层3×2=6(盏），第三层6×2=1２（盏)，第四层1２×２=24（盏),第五层２4×2=48（盏）,第六层48×２=9６（盏），第七层9６×2=１9２(盏—-答：从上到下第一层有3盏灯，第二层有6盏灯，第三层有12盏,第四层有24盏灯，第五层有48盏灯，第六层有96盏灯,第七层有192盏灯.难题点拨（12）一个农妇要到３７.8千米远的地方去，开始时走得快,走多了脚疼难走，每相邻两天中,后一天走的路程是前一天的一半，走了6天才到达目的地。

求这个农妇每天各走多少千米?点拨 由条件“每相邻两天中，后一天走的路程是前一天的一半”可得，如果将第六天走的路程看做1份数，则第五天走的路程是2份数,第四天走的路程是4份数，第三天走的路程是8份数，第二天走的路程是16份数,第一天走的路程是3２份数.６天走的路程是：１+２＋4+8+16+32＝63(份)第六天走的路程是：３７．8÷63=06（千米)第五天走的路程是:0６×2=1２（千米)第四天走的路程是:０．６×4=2．4（千米)第三天走的路程是：06×８＝48(千米）第二天走的路程是:0.6×１6=9.6(千米）第一天走的路程是:０６×3２=19.2(千米)答:这个农妇第一天走了1９．2千米,第二天走了9．6千米，第三天走了4８千米,第四天走了2４千米，第五天走了１．2千米,第六天走了0．６千米难题点拨（１3）欧几里得是古希腊著名的数学家,他著的《几何原本》是世界上最早公理化的著作.欧几里得曾经编写过这样一道数学题:骡子和驴驮着谷物一起在路上走着，途中，骡子对驴说：“如果把你驮的谷物给我一包,我驮的包数就是你的二倍；如果把我驮的包数给你一包，我们俩驮的包数就相等"你能求出骡子和驴各驴了多少包谷物吗？点拨 由“骡子对驴说：‘---——－如果把我驮的包数给你一包，我们俩驮的包数就相等。

’”可知,骡子比驴多驮了2包；又由“如果把你驮的谷物给我一包,我驮的包数就是你的二倍可知，在骡子比驴多驮2包的情况下,驴又给了骡子1包，这时候骡子比驴多驮（2＋２)包，即４包.这4包对应的正好是一倍的量.所以驴驮的谷物是：4+1=5（包）骡子驮的谷物是：5＋2=7（包）答：驴驮了５包谷物，骡子驮了7包谷物.难题点拨（14）我国北魏数学家张丘建撰写的《张丘建算经》一书中有这样一道题:甲、乙二人各有钱若干枚，如果乙给甲10枚钱,则甲比乙多的钱数是乙剩下钱的５倍;如果甲给乙10枚钱,则,甲、乙二人的钱数正好相等问:甲、乙二人原来各有多少枚钱？点拨 由“如果甲给乙１0枚钱,则甲、乙二人的钱数正好相等"(如下图)可知，甲比乙多20枚钱可知这时候，甲比乙多（20+1０×2）枚钱，即５倍的量是４0枚钱,可以求出1倍的量(乙给甲１０枚钱后乙的钱数)是４0÷５=8（枚）钱因此，乙原来有钱：8+10=18（枚）甲原来有钱：８×6—10＝3８（枚）答：甲原来有38枚钱，乙原来有１8枚钱难题点拨(1５）4个工人有相同数量的香烟,他们每个人抽掉6支以后，剩下的全部香烟正好等于每个人原有和香烟数问:4个人原来共有多少支香烟？点拨 可以用份数法解答这道题.将每个人原有的香烟数看做1份,那么4个人原来共有香烟数就是４份。

每个人抽了6支香烟，4个人一共抽了6×4＝２4(支）香烟这时他们剩下的全部香烟正好等于每个人原有的香烟数（即剩下的全部香烟数正好是1份）,即2４支香烟正好是3份的量，由此可以求出1份的量.1份的量(原来每个人各有的香烟支数）:２4÷3=8（支)４个人原来有的香烟支数：8×4=３2（支）答:4。