1989-2014考研数学二真题及答案解析.pdf

19891989 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、填空题一、填空题( (每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 2121 分分. .把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上. .) ) (1) 0 lim cot2 x xx → =＿＿＿＿＿＿. (2) 0 sinttdt π = ∫ ＿＿＿＿＿＿. (3) 曲线 0 (1)(2) x yttdt=−− ∫ 在点(0,0)处的切线方程是＿＿＿＿＿＿. (4) 设( )(1)(2)()f xx xxxn=++⋅⋅+,则(0) f ′ =＿＿＿＿＿＿. (5) 设( )f x是连续函数,且 1 0 ( )2( )f xxf t dt=+ ∫ ,则( )f x =＿＿＿＿＿＿. (6) 设 2, 0 ( ) sin ,0 abxx f x bx x x  +≤  =   在0x =处连续,则常数a与b应满足的关系是＿＿＿＿＿. (7) 设tan yxy=+,则dy =＿＿＿＿＿＿. 二、计算题二、计算题( (每小题每小题 4 4 分分, ,满分满分 2020 分分. .) ) (1) 已知arcsin x ye−=,求 y′ . (2) 求 2 ln dx xx ∫ . (3) 求 1 0 lim(2sincos )x x xx → +. (4) 已知 2 ln(1), arctan , xt yt  =+  =  求 dy dx 及 2 2 d y dx . (5) 已知 1 (2),(2)0 2 f f ′ ==及 2 0 ( )1f x dx = ∫ ,求 1 2 0 (2 )x fx dx′′ ∫ . 三、选择题三、选择题( (每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1818 分分. .每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中, ,只有一项符合题目要求只有一项符合题目要求, ,把把 所选项前的字母填在题后的括号内所选项前的字母填在题后的括号内. .) ) (1) 设0x 时,曲线 1 sinyx x = ( ) (A) 有且仅有水平渐近线 (B) 有且仅有铅直渐近线 (C) 既有水平渐近线,也有铅直渐近线 (D) 既无水平渐近线,也无铅直渐近线 (2) 若 2 350ab− ∫ ,为简化计算,令 0 1 cos20xdxk π −= ∫ ,即( )ln x f xxk e =−+, 则其导数 11 ( )fx xe ′=−,令( )0fx′=解得唯一驻点xe=, 即 ( )0,0 ( )0, fxxe fxex ′ ∫∫ . 其它同方法一. 七、七、( (本大题满分本大题满分 1111 分分) ) 【解析】函数 2 1x y x + =的定义域为()(),00,−∞+∞,将函数化简为 2 11 ,y xx =+ 则 322433 21126216 (1),(2)yy xxxxxxxx ′′′= −−=−−=+=+. 令0y′ =,得2x = −,即 2 2 12 (1)0,( 2,0), 12 (1)0,(, 2)(0,), yx xx yx xx  ′ = −−∈ −     ′ = −−∈ −+∞     ′′ = +  ,则函数[ ( )]f f x=＿＿＿＿＿＿. 二、选择题二、选择题( (每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分. .每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中, ,只有一项符合题目要求只有一项符合题目要求, ,把把 所选项前的字母填在题后的括号内所选项前的字母填在题后的括号内.).) (1) 已知 2 lim0 1 x x axb x →∞  −−=  +  ,其中, a b是常数,则 ( ) (A) 1,1ab== (B) 1,1ab= −= (C) 1,1ab== − (D) 1,1ab= −= − (2) 设函数( )f x在(,)−∞ +∞上连续,则( )df x dx  ∫ 等于 ( ) (A) ( )f x (B) ( )f x dx (C) ( )f xC+ (D) ( )fx dx′ (3) 已知函数( )f x具有任意阶导数,且 2 ( )[ ( )]fxf x′=,则当n为大于2的正整数时,( )f x 的n阶导数 ( )( )n fx是 ( ) (A) 1 ![ ( )]nnf x + (B) 1 [ ( )]nn f x + (C) 2 [ ( )] n f x (D) 2 ![ ( )] n nf x (4) 设( )f x是连续函数,且( )( ) x e x F xf t dt − =∫,则( )F x′等于 ( ) ❤ (A) ()( ) xx ef ef x −− −− (B) ()( ) xx ef ef x −− −+ (C) ()( ) xx ef ef x −− − (D) ()( ) xx ef ef x −− + (5) 设 ( ) , 0 ( ) (0), 0 f x x F xx fx  ≠  =  =  ,其中( )f x在0x =处可导,(0)0,(0)0ff′≠=,则0x = 是( )F x的 ( ) (A) 连续点 (B) 第一类间断点 (C) 第二类间断点 (D) 连续点或间断点不能由此确定 三、三、( (每小题每小题 5 5 分分, ,满分满分 2525 分分.).) (1) 已知lim()9 x x xa xa →∞ + = − ,求常数a. (2) 求由方程2()ln()yxxyxy−=−−所确定的函数( )yy x=的微分dy. (3) 求曲线 2 1 (0) 1 yx x = + 的拐点. (4) 计算 2 ln (1) x dx x− ∫ . (5) 求微分方程ln(ln )0xxdyyx dx+−=满足条件1 x e y = =的特解. 四、四、( (本题满分本题满分 9 9 分分) ) 在椭圆 22 22 1 xy ab +=的第一象限部分上求一点P,使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所 围图形面积为最小(其中0,0ab). 五、五、( (本题满分本题满分 9 9 分分) ) 证明：当0x ,有不等式 1 arctan 2 x x π +. 六、六、( (本题满分本题满分 9 9 分分) ) 设 1 ln ( ) 1 x t f xdt t = + ∫ ,其中0x ,求 1 ( )( )f xf x +. 七、七、( (本题满分本题满分 9 9 分分) ) 过点(1,0)P作抛物线2yx=−的切线,该切线与上述抛物线及x轴围成一平面图形, 求此平面图形绕x轴旋转一周所围成旋转体的体积. 八、八、( (本题满分本题满分 9 9 分分) ) ❤ 求微分方程44 ax yyye′′′++=之通解,其中a为实数. 19901990 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).) (1)【答案】 13 3(3) 88 yx−=− 【解析】将 6 t π =代入参数方程得, x y在 6 t π =处的函数值: 6 3 3 8 t xπ = =, 6 1 ; 8 t yπ = = 得切点为 31 (3, ) 88 . 过已知点 00 (,)xy的法线方程为 00 ()yyk xx−=−,当函数在点 00 (,)xy处的导数 0 0 x x y = ′≠时, 0 1 () k y x = ′ .所以需求曲线在点 6 t π =处的导数. 由复合函数求导法则,可得 dydy dtdydx dtdtdxdt dx =⋅= 2 2 3sincos 3cossin tt tt = − tant= −, ❤ 6 1 3 xt yπ = ′= −； 法线斜率为3.k =所以过已知点的法线方程为 13 3(3). 88 yx−=− 【相关知识点】复合函数求导法则： 如果( )ug x=在点x可导,而( )yf x=在点( )ug x=可导,则复合函数[]( )yf g x= 在点x可导,且其导数为 ( )( ) dy f ug x dx ′′=⋅或 dydy du dxdu dx =⋅. (2)【答案】 11 tantan 2 22 11111 secsincos xx ee x xxx x −−  ⋅⋅⋅+⋅    【解析】原函数对x求导,有 111 tantantan 111 sinsinsin xxx yeee xxx ′′ ′   ′ = ⋅=⋅+⋅    11 tantan 111 1 tansincos xx ee xxxx ′′  =⋅+⋅   11 tantan 2 22 11111 secsincos. xx ee x xxx x −−  =⋅⋅⋅+⋅    【相关知识点】1.两函数乘积的求导公式： []( )( )( )( )( )( )f xg xfxg xf xg x ′ ′′⋅=⋅+⋅. 2.复合函数的求导法则: 如果( )ug x=在点x可导,而( )yf x=在点( )ug x=可导,则复合函数[]( )yf g x= 在点x可导,且其导数为 ( )( ) dy f ug x dx ′′=⋅或 dydy du dxdu dx =⋅. (3)【答案】 4 15 【解析】 对于原定积分,有换元法或拆项法可选择,不管是何种方法,最终的目的都是去 掉积分式子中的根式或使得根式积分可以单独积分出结果. 方法方法 1 1：换元法,令1xt−=,原积分区间为01x≤≤,则011x≤ −≤,进而011x≤−≤, 新积分区间为01t≤ ≤；当0x =时,1t =,当1x =时,0t =,故新积分上限为 0,下限为 1. 1dxdt−=⇒ 11 22 1 dtdxdx tx −− == − ,则2dxtdt= −. ❤ 原式 0 2 1 (1)( 2)tttdt=−⋅ ⋅ − ∫ () 1 1 2435 0 0 11 22 35 ttdttt  =−=−   ∫ 114 2. 3515  =−=   方法方法 2 2：拆项法,()11xx=−+, 原式 () 1 0 111xxdx=−+− ∫ () 3 11 2 00 11xdxxdx=−−− ∫∫ ()() 11 35 22 00 22 11 35 xx= −−+− 224 . 3515 =−= (4)【答案】 【解析】由于 3 x e−, 3 x e在[ 2, 1]−−连续且 3 x e− 3 x e,根据比较定理得到 31 2 x edx − − − ∫ 31 2 x e dx − − ∫ . 【相关知识点】对于相同区间上的定积分的比较,有“比较定理”如下： 若( )f x与( )g x在区间[ , ]a b(, a b为常数,ab时,有( )0.f x =代入[ ( )]f f x,又(0)1,f=即当|| 1x 时,也有[ ( )]1f f x≡. 因此,对任意的(,)x∈ −∞ +∞,有[ ( )]1f f x≡. 二、选择题二、选择题( (每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).) (1)【答案】C 【解析】本题。