高数各章综合测试题与复习资料.docx

5处必然（）2第十一章无穷级数测试题、单项选择题1假设幕级数 an（x 1）n在x 1处收敛，那么该幕级数在 xn 12（A）绝对收敛； （B）条件收敛；（C）发散；（D）收敛性不定.2、以下级数条件收敛的是 （ ）.(A)(1)nn； ni2n 10’an收敛于S，那么级数nn 1 # 1 n 1 3(C) ( 1) ( ) ； (D) ( 1)=n 1 2 n 1 •一 n3、假设数项级数anan 1an 2n 1(A) S a1； (B) S a2；(C) S a1 a2； (D) S a2 ai.4、设a为正常数，那么级数sin na2~n 1 n).（A）绝对收敛； （B）条件收敛；（C）发散；（D）收敛性与a有关.bn sin n n<,25、设 f (x) x ,0 < x 1，而 S(x)二、填空题1、设 un1 14，那么（―山 -J （)n 1n1 2 2nn 12、设 an x 1 的收敛域为n 12,4，那么级数 nan x 1 n的收敛区间为（n 13、设 f (x)2 1 x < 0； ，那么以2为周期的傅里叶级数在 x 1处收敛于（x3,0 x w 14、设 f(x) n< xn的傅里叶级数为a。

2an cos nx bn sin nx ,n 1其中bn 210 f (x)sin n n (n1,2,…），那么S（12等于（111 1(A) 2；(B) - ； (C)44； (D) 2.n 1)那么bs ()5、级数(1^-2n的和为( n i 2 n 1 !三、计算与应用题11、 求级数 -x 3 n；的收敛域n 1 n 312、 求 一2 -的和n1 n2 1 2n3、 将函数f(x) ln 1 x 2x2展开为x的幕级数，并求f(n o 04、求n2 1 nn0 不?X的和函数5、 fn(x)满足 fn(x)n 1 xfn(x) x e，n为正整数，且fn(1) ，求函数项级数nfn xn 1的和函数.6、设有方程xn nx 10，其n中为正整数，证明此方程存在唯一正根xo，并证明当1时，级数 Xn收敛.n 1四、证明题n设 an 4tannxdxn 01(1)求一an an 2 n 1 n(2)试证：对任意常数0，级数an收敛n 1n111提示：anan 2anan 21.nn n1 n 1 n111an 1因为anan 2 ‘，所以an51n 1n1n n 1n n 1 n第十一章无穷级数测试题答案与提示1、A; 2、D; 3、B; 4、C; 5、B.1、1;2、4,23、3 • 4、2n；25、cosl sinl.1、答案:0,6 .2、答案:5 3^28 4提示：原式为级数nx2""n 1 n—的和函数在1-点的值.23、答案:(nf(x)1)2 n 2n 12n，分别求出1nx 如1 和_ 2n 2n 1 2的和函数即可.提示：f (x)In4、答案:提示:而xex5、答案:(1)nn 0 n 12n0 2nn!1xnfn xn 12x2In2xIn1,ex ln提示：先解一阶线性微分方程,fn x16、提示:设 fn(X)nx nx根•而fn(0)n1 X°X° -1 , x n 0 n!求出特解为n!1,1fn(X)△exnex x，记 S(x)n 1 n-，那么可得S(x)n 1 nln(1 x)1,那么0, fn(1) n丄，故当1nfn (x) 0, x 0 ，故 fn(x)在 0,0，所以有唯一正根X。

由方程xn时，级数xnn 1收敛.内最多有一个正nx1 111四、提示： annanan an 2 1 .n 1 n因为anan—，所以ann 11 1 an第十章曲线积分与曲面积分测试题、单项选择题1、X ay dx ydy为某二元函数的全微分，那么a等于（(A) 1； (B) 0； (C) 1； (D) 2.2、设闭曲线c为x|y1的正向，那么曲线积分 O -cydx xdyix |yl的值等于（)(A)0; (B) 2;(C) 4; (D) 6.3、设为圭寸闭柱K 2 2 2 小 小面 x y a 0 < z < 3,其向外的单位法向量为n cos,cos,cos，那么 O xcos ycoszcosds等于（)(A) 9 n4、设曲线C为(D) 0.c 2 c 2(B) 6衍；； (C) 3^a ;2222x y z a，那么O xds等于( x y z 0 c(A)3a2;2(B) 0; (C) a ;(D) 3a2.35、设为下半球z2y的上侧,是由和z 0所围成的空间闭区域，那么 zdxdy不等于（(A) dv;(B)r2rdr ;(C)2 nd00 . a2 r2 rdr; (D)二、填空题1、设c是圆周2 xy2 a2，那么 ° xc2、设质点在力Fy 3x i 2y x jz x y dxdy.y2 ds （）2 2的作用下沿椭圆4x y 4的逆时针方向运动周，那么F所做的功等于( )3、设 是平面x y z 6被圆柱面x2 y2 1所截下的局部，那么 zds等于( )4、设2 …2 z2 1的外侧，那么〔二 x dydz等于( )2 2 2 ■ 3x y z5、设字単ydxc 1 xf (x)dy与路径无关，其中f (x)连续且f(0) 0,那么f (x)( )三、计算与应用题x1、求 I l e sinyb x y dxey cosy ax dy，其中a, b为正常数，L为从点A 2a,0沿曲线y 2ax x2到点O 0,0的弧.22、计算I l y ds，其中L为圆周3、在变力F yzi zxj xyk的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面2 2 2 一笃每务1上第一卦挂线的点M ,,，问，，取何值时，力F所做的功W最 a b c大？并求出W最大值.2 2x y 24、设S为椭球面 z 1的上半局部，点P x,y,z S , n为S在点P处的切平2 2面,x, y, z为点O 0,0,0到平面n的距离，求x, y, z5、求Ixzdydz 2zydzdx 3xydxdy, 其中2为曲面z 1 x6、设对于半空间x 0内任意光滑有向闭曲面 S，都有，内具有连续的Oxf (x)dydz xyf (x)dzdx e2xzdxdy 0 ,其中函数 f (x)在 0,S一阶导数，且 lim f(x) 1，求 f(x).x 0答案：xe xf(x) e 1x提示：由题设和高斯公式得提示：曲面S在点P x, y,z处的法向量为 x, y,2z0 Cxf(x)dydz xyf(x)dzdx e2xzdxdy Q xf (x) f (x) xf(x) e2x dvS由S的任意性，知xf (x) f (x) xf (x) e2x 0 ,解此微分方程即可.四、证明题平面区域D x, y 0 < x < n, 0 < x < n , L为D的正向边界，试证：sin y sin x sin y sin x〔1〕、；xe dy ye dx ：「xe dy ye dx ；L Lsi n x 1dxsin y 1w cxe dy yeL第十章曲线积分与曲面积分测试题答案与提示1、D ； 2、C；3、4、B ； 5、B.1、2、5、11 x2 .1、答案:a2提示：添加从O 0,00到点2a,0的有向直线段L1，然后用格林公式.和x 1所围区域，那么f (x, y)等于( ).2、答案：I提示：利用变量“对等性〃Ly2dsLx2dSL^dSa3ds.3 L3、答案:a"3,b_3,c_3Wmax提示：直线段OM : xt, yt,t , t从0变到1,功W为W OMyzdx zxdyxydzt2dt2工b22 z2 c1下的最大值即可.4、答案:z 3ds n.S x, y, z 2在条件再求W2 a切平面方程为：-X -Y zZ 0 ,2 2点 O 0,0,0到平面n的距离 x, y,zx2z25、答案：Ixzdydz 2zydzdx 3xydxdy冗.提示：添加曲面i为平面xoy上被椭圆22 y 彳x 14所围的下侧，在 和1所围封闭曲面上用高斯公式注意到在xzdydz 2zydzdx13xydxdy的积分等于3xydxdy 为 0.D6、提示:(1)左边=sin y sinxn dy Tie dxnsinx . sinx ■ 工中n e +e dx，冋理,0右边=n . .sin x . sin x ■e +e dx(2)由〔1〕得二 xesinydyLsinx」ye dx= n0sinx . sinx sinx sinxe +e dx，而由e 和e泰勒展开式知道sin2 xsinx . sinxe +edx ,2 sin2x dx第九章重积分测试题、选择题1、 假设区域 D是xoy平面上以(1,1), ( 1,1)和(1, 1)为顶点的三角形区域， D1是D在第一象限中。