同济五版《高等数学》讲稿WORD版-第01章函数与极限.doc

第一章 函数与极限教学目的：1、 理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式2、 了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性3、 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念4、 掌握基本初等函数的性质及其图形5、 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系6、 掌握极限的性质及四则运算法则7、 了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法8、 理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限9、 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质教学重点：1、 复合函数及分段函数的概念；2、 基本初等函数的性质及其图形；3、 极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、 两个重要极限；5、 无穷小及无穷小的比较；6、 函数连续性及初等函数的连续性；7、 区间上连续函数的性质教学难点：1、 分段函数的建立与性质；2、 左极限与右极限概念及应用；3、 极限存在的两个准则的应用；4、 间断点及其分类；5、 闭区间上连续函数性质的应用。

§1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为aÎM. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A={a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为 A={a1, a2, × × ×, an}, M={x | x具有性质P }. 例如M={(x, y)| x, y为实数, x2+y2=1}. 几个数集: N表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集. N={0, 1, 2, × × ×, n, × × ×}. N+={1, 2, × × ×, n, × × ×}. R表示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z={× × ×, -n, × × ×, -2, -1, 0, 1, 2, × × ×, n, × × ×}. Q表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. 子集: 若xÎA, 则必有xÎB, 则称A是B的子集, 记为AÌB(读作A包含于B)或BÉA . 如果集合A与集合B互为子集, AÌB且BÌA, 则称集合A与集合B相等, 记作A=B. 若AÌB且A¹B, 则称A是B的真子集, 记作AB . 例如, NZQR . 不含任何元素的集合称为空集, 记作Æ. 规定空集是任何集合的子集. 2. 集合的运算 设A、B是两个集合, 由所有属于A或者属于B的元素组成的集合称为A与B的并集(简称并), 记作AÈB, 即 AÈB={x|xÎA或xÎB}. 设A、B是两个集合, 由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集(简称交), 记作AÇB, 即 AÇB={x|xÎA且xÎB}. 设A、B是两个集合, 由所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集(简称差), 记作A\B, 即 A\B={x|xÎA且xÏB}. 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I中进行, 所研究的其他集合A都是I的子集. 此时, 我们称集合I为全集或基本集. 称I\A为A的余集或补集, 记作AC. 集合运算的法则: 设A、B、C为任意三个集合, 则 (1)交换律AÈB=BÈA, AÇB=BÇA; (2)结合律 (AÈB)ÈC=AÈ(BÈC), (AÇB)ÇC=AÇ(BÇC); (3)分配律 (AÈB)ÇC=(AÇC)È(BÇC), (AÇB)ÈC=(AÈC)Ç(BÈC); (4)对偶律 (AÈB)C=AC ÇBC, (AÇB)C=AC ÈBC. (AÈB)C=AC ÇBC的证明: xÎ(AÈB)CÛxÏAÈBÛxÏA且xÏBÛxÎA C且xÎBC ÛxÎAC ÇBC, 所以(AÈB)C=AC ÇBC. 直积(笛卡儿乘积): 设A、B是任意两个集合, 在集合A中任意取一个元素x, 在集合B中任意取一个元素y, 组成一个有序对(x, y), 把这样的有序对作为新元素, 它们全体组成的集合称为集合A与集合B的直积, 记为A´B, 即 A´B={(x, y)|xÎA且yÎB}. 例如, R´R={(x, y)| xÎR且yÎR }即为xOy面上全体点的集合, R´R常记作R2. 3. 区间和邻域 有限区间: 设a