2016届高三数学人教A版一轮复习基础巩固强化：第8章 第6节抛物线.doc

第八章　第六节一、选择题1．(文)(2013·江西吉安模拟)若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则点P的轨迹方程为(　　)A．y2＝8x　　　　　　　 B．y2＝－8xC．x2＝8y　 D．x2＝－8y[答案]　C[解析]　由题意知点P到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，因此点P到点F(0,2)的距离与到直线y＋2＝0的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，y＝－2为准线的抛物线，∴P的轨迹方程为x2＝8y.选C．(理)(2013·东北三校模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有(　　)A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3| B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|　 D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|[答案]　C[解析]　抛物线的准线方程为x＝－，由定义得|FP1|＝x1＋，|FP2|＝x2＋，|FP3|＝x3＋，则|FP1|＋|FP3|＝x1＋＋x3＋＝x1＋x3＋p,2|FP2|＝2x2＋p，由2x2＝x1＋x3，得2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|，故选C．2．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)A．2　 B．3C．　 D．[答案]　A[解析]　直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题化为在抛物线y2＝4x上找一个点P，使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即dmin＝＝2，故选A．[点评]　与抛物线有关的最值问题常见题型．(1)点在抛物线外，利用两点间线段最短求最小值．①已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(　　)A．　 B．3C．　 D．[答案]　A[解析]　抛物线y2＝2x的焦点为F(，0)，准线是l，由抛物线的定义知，点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F到点(0,2)的距离．因此所求的最小值等于＝，选A．②(2013·甘肃天水调研)已知P为抛物线y＝x2上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是(2,0)，则|PA|＋|PM|的最小值是________．[答案]　－1[解析]　如图，抛物线y＝x2，即x2＝4y的焦点F(0,1)，记点P在抛物线的准线l：y＝－1上的射影为P′，根据抛物线的定义知，|PP′|＝|PF|，则|PP′|＋|PA|＝|PF|＋|PA|≥|AF|＝＝.所以(|PA|＋|PM|)min＝(|PA|＋|PP′|－1)min＝－1.(2)定点在抛物线内，利用点到直线的垂线段最短求最小值．③(2013·河南洛阳、安阳统考)点P在抛物线x2＝4y的图象上，F为其焦点，点A(－1,3)，若使|PF|＋|PA|最小，则相应P的坐标为________．[答案]　(－1，)[解析]　由抛物线定义可知PF的长等于点P到抛物线准线的距离，所以过点A作抛物线准线的垂线，与抛物线的交点(－1，)即为所求点P的坐标，此时|PF|＋|PA|最小．④已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．[分析]　抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，求|PA|＋|PF|的问题可转化为|PA|＋d的问题，运用三点共线可使问题得到解决．[解析]　将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±，∵>2，∴点A在抛物线内部．设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义，知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为，即|PA|＋|PF|的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，即点P的坐标为(2,2)．(3)抛物线上动点到定直线与抛物线准线(或焦点)距离和(或差)的最值转化为点到直线距离最小．⑤已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是(　　)A．　 B．C．2　 D．－1[答案]　D[解析]　由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为＝，所以d＋|PF|－1的最小值为－1.(4)利用直角三角形斜边大于直角边求最小值．⑥(2014·陕西质检)已知点M(－3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y2＝2x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|－|QF|的最小值是(　　)A．　 B．3C．　 D．2[答案]　C[解析]　如图，|MQ′|－|Q′F|＝|MQ′|－|Q′A′|＝|MA′|＝|NA|＝|NQ|－|AQ|≤|MQ|－|AQ|＝|MQ|－|QF|.(其中l是抛物线的准线，QA⊥l，垂足为A，Q′M⊥l垂足为A′，MN⊥QN)，∵抛物线的准线方程为x＝－，∴|QM|－|QF|≥|xQ＋3|－|xQ＋|＝3－＝，选C．(5)与其他曲线有关的抛物线最值问题．⑦(2014·忻州联考)已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是________．[答案]　－1[解析]　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0,4)，设点P到抛物线的准线距离为d，根据抛物线的定义有d＝|PF|，∴|PQ|＋d＝|PQ|＋|PF|≥(|PC|－1)＋|PF|≥|CF|－1＝－1.(6)与平面向量交汇命题．⑧已知点A(2,0)、B(4,0)，动点P在抛物线y2＝－4x上运动，则·取得最小值时的点P的坐标是______．[答案]　(0,0)[解析]　设P，则＝，＝，·＝＋y2＝＋y2＋8≥8，当且仅当y＝0时取等号，此时点P的坐标为(0,0)．3．(文)(2013·安徽省级示范高中联考)设O是坐标原点，F是抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正方向的夹角为60°，则△OAF的面积为(　　)A．　 B．2C．　 D．1[答案]　C[解析]　由题意知，F(1,0)，过A作AD⊥x轴于D．令|FD|＝m，则|FA|＝2m，由抛物线的定义知|AF|＝p＋|FD|＝2＋m＝2m，即m＝2，所以|AD|＝2，S△OAF＝|OF|·|AD|＝×1×2＝.(理)(2014·湖北武汉调研)已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为(　　)A．2　 B．2C．2　 D．4[答案]　C[解析]　设P点坐标为(x0，y0)，则由抛物线的焦半径公式得|PF|＝x0＋＝4，x0＝3，代入抛物线的方程，得|y0|＝2，S△POF＝|y0|·|OF|＝2，选C．4．(文)(2014·辽宁五校联考)已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是(　　)A．2　 B．C．　 D．[答案]　C[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋1＝4，∴x1＋x2＝3，∴＝，即AB中点C的横坐标是.(理)(2014·武昌模拟)直线y＝k(x－2)交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为3，则弦AB的长为(　　)A．6　 B．10C．2　 D．16[答案]　B[解析]　将y＝k(x－2)代入y2＝8x中消去y得，k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝＝6，∴k＝±2，∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝10.5．(文)设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标为(　　)A．(2，±2)　 B．(1，±2)C．(1,2)　 D．(2,2)[答案]　B[解析]　设点A的坐标为(x0，y0)，∴y＝4x0①又F(1,0)，∴＝(x0，y0)，＝(1－x0，－y0)，∵·＝－4，∴x0－x－y＝－4，②解①②组成的方程组得或[点评]　向量与解析几何相结合，向量往往要化为坐标的形式．(理)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是(　　)A．(0,2) 　 B．[0,2]C．(2，＋∞) 　 D．[2，＋∞)[答案]　C[解析]　设圆的半径为r，因为F(0,2)是圆心，抛物线C的准线方程y＝－2.圆与准线相切时半径为4.若圆与准线相交则r>4.又因为点M(x0，y0)为抛物线x2＝8y上一点，所以有x＝8y0.又点M(x0，y0)在圆x2＋(y－2)2＝r2上．所以x＋(y0－2)2＝r2>16，所以8y0＋(y0－2)2>16，即有y＋4y0－12>0，解得y0>2或y0<－6(舍)，∴y0>2.故选C．6．(2013·北京东城区统一检测)已知抛物线y2＝2px的焦点F与双曲线－＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为(　　)A．4　　　 B．8　　　C．16　　 D．32[答案]　D[解析]　由题意知，抛物线焦点坐标为(4,0)．作AA′垂直于抛物线的准线，垂足为A′，根据抛物线定义知|AA′|＝|AF|，所以在△AA′K中，|AK|＝|AA′|，故∠KAA′＝45°，此时不妨认为直线AK的倾斜角为45°，则直线AK的方程为y＝x＋4，代入抛物线方程y2＝16x中，得y2＝16(y－4)，即y2－16y＋64＝0，解得y＝8，点A的坐标为(4,8)，故△AFK的面积为S△AFK＝|FK|·|yA|＝×8×8＝32.二、填空题7．(2013·辽宁大连一模)已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8,8)，则线段AB的中点到准线的距离是________．[答案]　[解析]　由y2＝8x知2p＝8，∴p＝4，则点F的坐标为(2,0)．由题设可知，直线l的斜率存在，设l的方程为y＝k(x－2)，点A，B的坐标分别为(8,8)，(xB，yB)．又点A(8,8)在直线l上，∴8＝k(8－2)，解得k＝.∴直线l的方程为y＝(x－2)．①将①代入y2＝8x，整理得2x2－17x＋8＝0，则8＋xB＝，∴xB＝.∴线段AB的中点到准线的距离是＋＝＋2＝.[解法探究]　求得xB＝后，进一步可得yB＝－2，∴|AB|＝.∴AB的中点到准线距离d＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|＝.8．(2014·山东广饶一中期末)抛物线y2＝8x的顶点为O，A(1,0)，过焦点且倾斜角为的直线l与抛物线交于M，N两点，则△AMN的面积是________．[答案。