复变函数：4.2 幂级数.ppt

第二节 幂级数一、幂级数的概念二、幂级数的敛散性三、幂级数的运算和性质四、典型例题五、小结与思考2一、幂级数的概念1.复变函数项级数(1)定义其中各项在区域 D内有定义.表达式称为复变函数项级数, 记作 3称为这函数项级数的部分和.(2)级数最前面n项的和(3)复变函数项级数的收敛4称为该函数项级数在区域D上的和函数.如果级数在D内处处收敛, 那末它的和一定52. 幂级数当或函数项级数的特殊情形或这种级数称为幂级数.6二、幂级数的敛散性1.收敛定理(阿贝尔Abel定理)收敛绝对收敛发散发散7证由收敛的必要条件, 有因而存在正数M, 使对所有的n, 8而由正项级数的比较判别法知:收敛.另一部分的证明请课后完成.证毕92. 收敛圆与收敛半径对于一个幂级数, 其收敛半径的情况有三种:(1) 对所有的正实数都收敛.由阿贝尔定理知:级数在复平面内处处绝对收敛.10例如: 级数对任意固定的z, 从某个n开始, 总有于是有故该级数对任意的z均收敛.11(2) 对所有的正实数除 z=0 外都发散.此时, 级数在复平面内除原点外处处发散.(3) 既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收敛的正实数.例如,级数通项不趋于零, 如图:故级数发散.12.收敛圆收敛半径幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域.13答案: 幂级数的收敛范围是何区域?问题1: 在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出一般的结论, 要对具体级数进行具体分析.注意问题2: 幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?14例如, 级数:收敛圆周上无收敛点;在收敛圆周上处处收敛.153. 收敛半径的求法对于幂级数（仅在z=0处收敛）（仅在z=0处收敛）（在复平面内处收敛）（在复平面内处收敛）16答案课堂练习 试求幂级数的收敛半径.17三、幂级数的运算和性质1.幂级数的有理运算182. 幂级数的代换(复合)运算如果当时,又设在内解析且满足那末当时,说明: 此代换运算常应用于将函数展开成幂级数.19定理四设幂级数的收敛半径为那末(2)在收敛圆内的导数可将其幂级数逐项求导得到, 是收敛圆内的解析函数 .(1)3. 幂级数分析性质20(3)在收敛圆内可以逐项积分, 简言之: 在收敛圆内, 幂级数的和函数解析; 幂级数可逐项求导, 逐项积分.(常用于求和函数)即21四、典型例题例1 求幂级数的收敛范围与和函数.解级数的部分和为22级数收敛,级数发散.且有收敛范围为一单位圆域由阿贝尔定理知:在此圆域内, 级数绝对收敛, 收敛半径为1,23例2求下列幂级数的收敛半径:(1)(并讨论在收敛圆周上的情形)(2)(并讨论时的情形)或解(1)因为24所以收敛半径即原级数在圆内收敛, 在圆外发散, 收敛的级数 所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.在圆周上, 级数25说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点, 也有 级数的发散点.原级数成为交错级数, 收敛.发散.原级数成为调和级数，(2)26例3 把函数表成形如的幂级数, 其中是不相等的复常数 .解把函数写成如下的形式:代数变形 , 使其分母中出现凑出27级数收敛,且其和为28例4 求级数的收敛半径与和函数.解利用逐项积分,得:所以29例5 求级数的收敛半径与和函数.解30例6 计算解31五、小结与思考 这节课我们学习了幂级数的概念和阿贝尔定理等内容，应掌握幂级数收敛半径的求法和幂级数的运算性质.32思考题幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定?33由于在收敛圆周上确定, 可以依复数项级数敛散性讨论.思考题答案放映结束，按Esc退出.34阿贝尔资料Born: 5 Aug 1802 in Frindoe (near Stavanger), NorwayDied: 6 April 1829 in Froland, NorwayNiels Abel。