光学教程光的衍射习题答案(叶玉堂).pdf

第六章第六章 光的衍射光的衍射 6－1 求矩形夫琅和费衍射图样中，沿图样对角线方向第一个次极大和第二个次极大相对于 图样中心的强度 解：对角线上第一个次极大对应于43. 1，其相对强度为： 0022. 0 43. 1 43. 1sinsinsin 4 2 2 0                             I I 对角线上第二个次极大对应于46. 2，其相对强度为： 00029. 0 46. 2 46. 2sinsinsin 4 2 2 0                             I I 6－2 由氩离子激光器发出波长488nm 的蓝色平面光， 垂直照射在一不透明屏的水平矩 形孔上，此矩形孔尺寸为 0.75mm×0.25mm在位于矩形孔附近正透镜（5 . 2fm）焦平 面处的屏上观察衍射图样，试求中央亮斑的尺寸 解：中央亮斑边缘的坐标为： 63. 1 75. 0 104882500 6     a f x  mm 26. 32xmm 88. 4 25. 0 104882500 6     b f y  mm 76. 92ymm ∴中央亮斑是尺寸为 3.26mm×9.76mm 的竖直矩形 6－3 一天文望远镜的物镜直径 D＝100mm，人眼瞳孔的直径 d＝2mm，求对于发射波长为 5 . 0μm 光的物体的角分辨极限。

为充分利用物镜的分辨本领，该望远镜的视角放大率 应选多大？ 解：当望远镜的角分辨率为： 6 3 6 101 . 6 10100 105 . 0 22. 122. 1        D  rad 人眼的最小分辨角为： 4 3 6 1005. 3 102 105 . 0 22. 122. 1        d e  rad ∴望远镜的放大率应为：50 d D M e   6－4 一个使用汞绿光（546nm）的微缩制版照相物镜的相对孔径（fD/）为 1:4，问 用分辨率为每毫米 380 条线的底片来记录物镜的像是否合适？ 解：照相物镜的最大分辨本领为： 375 4 1 1054622. 1 1 22. 1 1 6     f D N  /mm ∵380375 ∴可以选用每毫米 380 条线的底片 6－5 若要使照相机感光胶片能分辨 2 m 的线距，问 （1） 光胶片的分辨本领至少是每毫米多少线？ （2） 照相机镜头的相对孔径 D/f 至少有多大？ 解： （1）由于相机感光胶片能分辨 2 m 的线距，则分辨本领至少为： 500 002. 0 1 ＝N线/毫米 （2）可见光一般取中心波长550nm 计算，则相机的相对孔径至少为： 98. 2:15001055022. 122. 1 6   N f D  6－6 借助于直径为 2m 的反射式望远镜，将地球上的一束激光（600nm）聚焦在月球 上某处。

如果月球距地球 4×105km忽略地球大气层的影响，试计算激光在月球上的光斑 直径 解：由于衍射效应，反射式望远镜对激光成像的爱里斑角半径为： 7 9 0 1066. 3 2 10600 22. 122. 1      D  rad 由于角度很小，因此 00 tan ∴激光在月球上的光斑直径为：4 .1461066. 3104 78 0   lDm 6－7 直径为 2mm 的激光束（nm8 .632）射向 1km 远的接收器时，它的光斑直径有多 大？如果离激光器 150km 远有一长 100m 的火箭，激光束能否把它全长照亮？ 解：激光束的衍射角为： 3 6 10386. 0 2 108 .632 22. 122. 1      D  rad ∴离激光束 1km 远处的光斑直径为： 772. 010386. 0100022 3 11   lDm 离激光束 150km 远处的光斑直径为： 8 .11510386. 01015022 33 22   lDm 2 D大于火箭的长度，因此激光束能把它全长照亮。

6－8 一透镜的直径 D＝2cm，焦距 f＝50cm，受波长500nm 的平行光照射，试计算在 该透镜焦平面上衍射图象的爱里斑大小 解：爱里斑直径为： 3 7 1005. 3 2 10500 5022. 1222. 12      D fD  cm 6－9 波长为 550nm 的平行光垂直照射在宽度为 0.025mm 的单缝上， 以焦距为 60cm 的会聚 透镜将衍射光聚焦于焦平面上进行观察求单缝衍射中央亮纹的半宽度 解：单缝衍射中心亮纹的角半宽度为： rad a 022. 0 025. 0 10550 6       ∴条纹的半宽度为：32. 160022. 0 fecm 6－10 用波长630nm 的激光粗测一单缝缝宽若观察屏上衍射条纹左右两个五级极小 的距离是 6.3cm，屏和缝的距离是 5m，求缝宽 解：衍射条纹第五个极小对应于： sin5a ∴ aaa 36 1015. 3106305 arcsin 5 arcsin         rad 则左右两个五级极小的距离为： mmmm a dl635000 1015. 3 22 3      ∴缝宽为：5 . 0 63 515. 32   amm 6－11 波长500nm 的平行光垂直照射在宽度为 0.025mm 的单缝上，以焦距为 50cm 的 会聚透镜将衍射光聚焦于焦面上进行观察，求： （1）衍射图样中央亮纹的半宽度； （2）第一 亮纹和第二亮纹到中央亮纹的距离； （3）第一亮纹和第二亮纹相对于中央亮纹的强度。

解： （1）中央亮纹的半角宽度为： 02. 0 025. 0 10500 6 0     a  rad ∴中央亮纹的半宽度为：102. 050 0 fecm （2）第一亮纹的位置对应于43. 1，即： 43. 1sin 2 1  ka ∴0286. 00286. 0arcsin 025. 0 1050043. 1 arcsin 43. 1 arcsin 6 1       a  rad ∴第一亮纹到中央亮纹的距离为： 43. 010286. 050 11 efqcm 第二亮纹对应于46. 2 ∴0492. 00492. 0arcsin 025. 0 1050046. 2 arcsin 46. 2 arcsin 6 2       a  rad ∴第二亮纹到中央亮纹的距离为： 46. 110492. 050 22 efqcm （3）设中央亮纹的光强为 0 I，则第一亮纹的强度为： 0 2 0 2 01 047. 0) 43. 1 43. 1sin () sin (IIII     第二亮纹的强度为： 0 2 0 2 02 016. 0) 46. 2 46. 2sin () sin (IIII     6－12 在不透明细丝的夫琅和费衍射图样中， 测得暗条纹的间距为 1.5mm， 所用透镜的焦距 为 300mm，光波波长为 632.8nm，问细丝直径为多少？ 解：设细丝的直径为 D，则由题意： DD f 6 108 .632300 5 . 1     ∴127. 0 5 . 1 108 .632300 6     Dmm 6－13 在双缝的夫琅和费衍射实验中所用的光波的波长500nm， 透镜焦距100fcm， 观察到两相邻亮条纹之间的距离5 . 2emm， 并且第四级亮纹缺级， 试求双缝的缝距和缝宽。

解：双缝衍射两相邻亮条纹的距离为： d fe   ∴缝距为：2 . 0 5 . 2 10500 1000 6     e fd  mm ∵第四级缺级 ∴缝宽为：05. 0 4 2 . 0 4  d amm 6－14 考察缝宽 3 108 . 8  acm，双缝间隔 2 100 . 7  dcm，波长为 0.6328μm 时的双 缝衍射，在中央极大值两侧的衍射极小值间，将出现多少个干涉极小值？若屏离开双缝 457.2cm，计算条纹宽度 解：中央极大值两侧的衍射极小值满足： sina ∴在中央极大值两侧的衍射极小值间的衍射角将满足： a  sin 干涉极小满足：) 2 1 (sin md m0，1，2 …… ∴在中央极大值两侧的衍射极小值间，干涉极小满足：  a d m) 2 1 ( ∵95. 7 108 . 8 100 . 7 3 2       a d ∴m的取值可为 0，1，2……7，－8 ∴出现的干涉极小值个数为 16 个 条纹宽度为：13. 4 7 . 0 106328. 0 4572 3     d De  mm 6－15 计算缝距是缝宽 3 倍的双缝的夫琅和费衍射第 1，2，3，4 级亮纹的相对强度。

解：由题意，3 a d ，因此第三级缺级 ∴第三级亮纹的相对强度为 0 第 1，2，4 级亮纹分别对应于：sind，2，4 既是：   2sin 2 d，4，8 此时， 3 sin  a， 3 2 ， 3 4  ∴ 3 sin    a ， 3 2 ， 3 4  ∴第 1，2，4 级亮纹的相对强度分别为： %4 .68 3 3 sin 2 cos sin 4 2 2 2 0 1                          I I %17 3 2 3 2 sin 4 2 0 2                 I I %3 . 4 3 4 3 4 s in 4 2 0 4                 I I 6－16 波长为 500nm 的平行光垂直入射到一块衍射光栅上，有两个相邻的主极大分别出现 在2 . 0sin和3 . 0sin的方向上，且第四级缺级，试求光栅的栅距和缝宽。

解：两个相邻的主极大分别出现在2 . 0sin和3 . 0sin的方向上，则： md 2 . 0 ) 1(3 . 0 md 两式相减得：5 1 . 0   dμm ∵第四级缺级 ∴缝宽为：25. 1 4  d aμm 6－17 用波长为 624nm 的单色光照射一光栅，已知该光栅的缝宽012. 0amm，不透明部 分宽度029. 0bmm，缝数 N＝1000 条，试求： （1）中央极大值两侧的衍射极小值间，将 出现多少个干涉主极大； （2）谱线的半角宽度 解： （1）中央峰两侧的衍射极小值满足：sina ∴中央峰内的衍射角满足 a  sin 干涉主极大满足：mdsin m0，1，2 …… ∴在中央峰内的干涉主极大满足：  a d m ∵42. 3 012. 0 041. 0  a d ∴m的取值可为 0，1，2，3 ∴出现的干涉极小值个数为 7 个 （2）谱线的角宽度为： 5 6 1052. 1 )029. 0012. 0(1000 1062422       Nd  ra。