【北京卷】2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学真题试卷(Word版).pdf

2019年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理） （北京卷）第一部分（选择题共 40 分）一、 选择题共 8 小题 ,每小题 5 分,共 40 分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项1)（A）3（B）5（C） 3 （D）5 （2）执行如图所示的程序框图,输出的 s值为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （3）已知直线l 的参数方程为x = 1+3ty = 2 + 4t?（t 为参数） ,则点（ 1,0）到直线 l 的距离是（A）15（B）25（C）45（D）65（4）已知椭圆2x2a+2y2b= 1（ab0）的离心率为12,则（A）a2=2b2. （B） 3a2=4b2. （C） a=2b（D）3a=4b（5）若x,y满足的最大值为（A）-7 （B）1 （C） 5 （D） 7 （6）在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足m2- m1=52lgE1E2,其中星等为mk的星的亮度为Ek（k =1,2） 已知太阳的星等为-26.7,天狼星的星等为 -1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为（A）1010.1（B）10.1（C）lg10.1（ D）10- 10.1（7）设点A,B,C不共线 ,则“与的夹角是锐角” 是“” 的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C:x2+ y2=1+ x y就是其中之一 （如图） 。

给出下列三个结论： 曲线C恰好经过6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； 曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2; 曲线C所围城的“心形”区域的面积小于3. 其中 ,所有正确结论的序号是（A）（B）（C）（D）第二部分 (非选择题共 10 分) 二、填空题共6小题 ,每小题 5 分,共 30 分9) 函数f (x) = sin22x的最小正周期是_10) 设等差数列an 的前n 项和为Sn,若 a2=-3,S5=-10,则 a3= _ . Sn 的最小值为_11) 某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示 如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为_12) 已知 l、m 是平面 a 外的两条不同直线.给出下列三个论断: l m； ma； l a 以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题: _ 13) 设函数f(x)= ex+ae- x(a 为常数 ),若 f(x) 为奇函数 ,则 a=_； 若 f(x) 是 R 上的增函数 ,则 a 的取值范围是_14)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃价格依次为 60 元 /盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒,为增加销量 ,李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120 元,顾客就少付x 元,每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的 80%。

当 x=10 时,顾客一次购买草莓和西瓜各1 盒,需要支付_ 元： 在促销活动中 ,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则 x 的最大值为_ 三、解答题共6小题 ,共 80 分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程15）（本小题13 分）在中,a=3,b- c = 2,1cos2B（）求b,c 的值；（）求sin(B- C)的值求证：；（）求二面角F-AE-P 的余弦值 ; （） 设点 G 在 PB 上,且PGPB=23.判断直线 AG 是否在平面AEF 内,说明理由 . （17）（本小题13 分）改革开放以来 ,人们的支付方式发生了巨大转变近年来,移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月A,B 两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了 100 人 ,发现样本中A,B 两种支付方式都不使用的有5 人,样本仅使用A 和仅使用 B 的学生的支付金额分布情况如下：（）从全校学生中随机抽取1人 ,估计该学生上个月A,B 两个支付方式都使用的概率；（）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1 人,以 X 表示这 2 人中上个月支付金额大于 1000 元的人数 ,求 X 的分布列和数学期望；（） 已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化,现从样本仅使用A 的学生中 ,随机抽查 3 人,发现他们本月的支付金额大于2000 元。

根据抽查结果,能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000 元的人数有变化？说明理由18)（本小题14 分）已知抛物线C:x2= - 2py经过点 (2,-1)I)求抛物线 C 的方程及其准线方程；(II)设 O 为原点 ,过抛物线 C 的焦点作斜率不为0的直线 l 交抛物线 C 于两点 M,N, 直线 y=-1支付金额 ( 元) 支付方式(0,1000 (1000,2000 大于 2000 仅使用 A 18 人9 人3 人仅使用 B 10 人14 人1 人分别交直线OM,ON 于点 A 和点 B,求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两上定点19)（本小题13 分）已知函数f(x) =14x3-x2+xI)求曲线y=f(x)的斜率为1 的切线方程；(II)(III)设,记F(x)在 区 间 -2,4 上 的 最 大 值 为M(a),当 M(a)最小时 ,求 a 的值20)（本小题13 分）已 知 数 列 an, 从 中 选 取 第i1项 、 第i2项 、 、 第im项 (i1i2im), 若,则称新数列为an的长度为m 的递增子列 规定：数列 an的任意一项都是an 的长度为 1 的递增子列。

I)写出数列1,8,3,7,5,6,9 的一个长度为4 的递增子列；(II)已知数列 an 的长度为 P 的递增子列的末项的最小值为,长度为 q 的递增子列的末项的最小值为ano,若 pq,求证：；(III)设无穷数列 an 的各项均为正整数,且任意两项均不相等,若an的长度为s 的递增子列末项的最小值为2s-1,且长度为s 末项为2s-1 的递增子列恰有2s-1个（ s=1,2, ）,求数列 an的通项公式。