优秀毕业设计毕业论文物理专业对易关系的物理意义.doc

A斎疆非他尢f2010届本科毕业论文题目：对易关系的物理意义学 院：物理与电子工程学院 专业班级：2006级物理实验班 学生姓名：指导教师：答辩日期：2010年5月15日新疆师范大学教务处目录1引言 12表示力学量的算符 12. 1算符的概念 12.2几种算符 13对易关系的一般概念 24几种对易关系式 34.1坐标算符和动量算符的对易关系 34・2动量算符的对易关系 44・3角动量算符的对易关系 44・4角动量算符和动量算符的对易关系 44. 5角动量算符和坐标算符的对易关系 54. 6角动量算符和角动量平方算符的对易关系 55对易关系的物理意义 56测不准关系 56. 1坐标和动量的测不准关系 66.2角动量的测不准关系 76. 3力学量完全集合 77结论 7参考文献： 9对易关系的物理意义摘要：木文由量子力学中的一些力学量的对易关系来描述对易关系对量子力学的 重要意义，分别讨论对易和不对易的情况来解释是否有确定值的问题关键词：算符；对易关系；测不准关系1引言1927年海森伯提出的测不准关系就是与人类的认识能力和其自身的地位有 关的一条重耍定律测不准关系的发现可以称Z为认识论上的哥白尼革命。

海 森伯认为他提出的不确泄原理是根本的,推翻它就不会有量了力学，不久就被证 明可以从量子力学的基木原理及其相应的数学形式中把它推导出来根据这个原 理，微观客体的任何一对互为共轨的物理量，如坐标和动量，都不可能同时具有 确定值，即不可能对它们的测量结果同时作出准确预言测不准原理突破了经典 物理学关于所有物理量原则上可以同时确定的观念量子物理学的历史证明，它 是历史上最成功并为实验真确检验了的一个理论我们知道，力学量用厄密算符表示是从经典力学到量子力学所引进的一个基 本假设Z—如何保证使经典力学中的力学量成为量子力学中的厄密算符以及满 足相应的对易关系•通常我们就是直接利用对应原理由经典力学中力学量的表达 式得到与其对应的量子力学中的算符本论文主要讨论量子力学中的任意两个算 符对易的情况和不对易的情况，也就是说力学量在某一状态中究竟有确定值还是 没有确定值，它是量了力学中比较典型的两个问题2表示力学量的算符由于微观粒子具有波粒二象性，微观粒子状态的描述方式和经典粒子不同， 它需要波函数来描写量子力学中微观粒子力学量(如坐标，动量，角动量，能 量等)的性质也不同于经典粒子的力学量经典粒子在任何状态下它的力学量都 有确定值。

这种区别的存在，使得我们不得不用和经典力学不同的方式，即算符 来表示微观粒子力学量2.1算符的概念量子力学与经典力学相比有两个显著的区别：一个是专门引入波函数描述体 系的状态，另一个是用算符表示力学量算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号Fu = v(2. 1. 1)表示尸把函数"变成F就是这种变换的算符2. 2几种算符动量的算符:p = -itN(2. 2. 1)OX八 ..8“％Pz =lh dz动量平方的算符：P2 =-A2V2(2. 2. 2)动能的算符：T =-.沪p2m(2. 2. 3)坐标的算符：■ r = /■■(2. 2. 4)势能的算符：V(p) = V(r)(2. 2. 5)能量的算符：A.H=h V2+V(f)2m(2. 2. 6)角动量算：L = fxp(2. 2. 7)3对易关系的一般概念设有两个算符広和斤，如果把这两个算符作用于同一个波函数，则所得结果决定于这两个算符作用的顺序即任一个波函数肖,A Bi// = A(By/)一般 AB H BA八八八八 A 7S如果AB-BA=0 ,那么算符A和3是对易的,A AAB-BA^O算符A和〃是不对易的把上式可以写成(3. 1)(3. 2)[入 B] = Xb-BA = 0[A B]=彷_ BA H 04几种对易关系式4.1坐标算符和动量算符的对易关系如果把坐标算符和动量算符作用丁同一个波函数Px = 一讯ddx即对于任一•波函数0 ，有xp$力 o(f)=—x——i dx这两个结果并不相同，且八八八八/ / • /xpx(p- pxx(/)= in(/>.由于0是任意的波函，把上式可以写成为[兀，PxJ = XPX - P =龙 H 0(4. 1. 1)式成为f和几的对易关系式同理可以得到[y, pj = ypy 一 pyy =龙^p^] = zpz-pzz = lfl(4. 1. 1)(4. 1.2)(4. 1.3)同理可以得到方d x i dyh 8 h 8=—x x一 =i dy i dy所以得出[x, pp = xpy - pyx =[x,必=xp: - pzx = 0(4.1.4)[y，必二也_m[z, P^] = zpx 一 Pxz = 04. 2动量算符的对易关系r /\/\ /\/\ /\/\ 1lPX>Py] = PXPy-PyPX方d h d 方d h d i dx i dy i dy i dx同理可得;=_力2_^ + 方2_^=()dxdy dxdy[Py^Pj= PyPZ~P,Py=^(4.2. 1)(4. 2. 2)[pZPx] = PzPx - PxPz = 0 (4・ 2. 3)4. 3角动量算符的对易关系Ay AA厶=yPz~ ZPyAy=ZPx~Xp：[Lx,Ly] = ihLz(4. 3. 1)同理可得:_Lx,L：] = LyLz-L：Ly=itiLx=L：Lx-LxLz=ihLy4. 3. 2)可以推出AAALxL = ihL.4. 4角动量算符和动量算符的对易关系(4. 4. 1)A A "I ALy,P z \ = ihP x来讨论角动量』符和动g算符的对易关系S,几=—PzLy = （zP厂 xP）P厂 P：（迅-xPz）_ 小八八八八 c a=迅 P： -xPj - P： zPx + xP~=（迅-PQP（=械(4. 4. 2)同理可得厶]=叱 \Ly,Px\ = ihPz4. 5角动量算符和坐标算符的对易关系[Lx9y] = itiz[Lx,z] = ihy[Ly.z\ = -ihx[：兀]=0[Ly,y] = 0 成⑵=0(4. 5. 1)(4. 5.2)(4.6. 1)4・6角动量算符和角动量平方算符的对易关系>2] = or,L2]=o[L, P2] = 0(4.6.2)[L F2] = 05对易关系的物理意义若两个力学量算符有一组共同完备的本征函数系，则这两个算符是对易的。

设 Nn =人4G(Pn =人和儿依次是戶和e的木征值，由于％组成完备系，所以任意 态函数中(X)可以按％展开：0(兀)=》C机(X)贝I」(FG-GFg) = (FG-GF)Z cn(pnE/\/\AA * 、 fl /\ 八c=FG-GFg=》c“(F从,-GSp“=S Up入-人因为中(xf是任意函数所以 FG-GF=Q6测不准关系测不准关系也叫测不准原理，它是Heisenberg量子力学距阵表述的基木原 理根据这个原理，微观客体的任何一对互为共辄的物理量，如坐标和动量，都 不可能同时具有确定值，即不可能对它们的测量结呆同时作岀准确预言只要在经典力学中引进测不准关系，经典力学便从根本上改变了量子力学 在经典物理学中宏观物体的位置和动量是可以同时准确测定的测不准关系是微观粒子具有波粒二象形的必然结果只要微观粒子具有波粒 二象形，就必然导致测不准关系因此，并不是我们测量仪器不精密，或者说测 量仪器“干扰了粒子有序的经典运动出现了测不准，而是微观世界的客观规律本 身就是如此测不准是一种客观存在，靠改进仪器和测量手段是不可能消除测不 准关系所加的限制的若两个算符对易则同时有确定值；若不对易，一般来说，不存在共同本征函 数，不能同时具有确定值。

两个不对易算符所对应的力学量在某一状态中究竟不确定到什么程度？即 不确定度是多少？6.1坐标和动量的测不准关系测不准关系A. /\ A[F, G] = ik(6. 1. 1)(AF)2-(AG)2>(^4 方2•/ [x,页]滴 Ax)2 - Apr)2 > —或写成：(V W- A/7v)2 > j简记之：Ajc-Ap > _x 2(6. 1.2)表明：坐标与动量的偏差不能同时为零，具-•越小，另一就越大经典理论概念；一个粒子的位置和动量可以同时精确的测定量子理论的概念；要同时测出微粒的位置和动量，其精密度有一定的限制精密度的极限为测不准关系 AxApv>-2能屋和时间的测不准关系 △/仏匕 (6. 1.4)2相对论性能量为 E - me1 =(p2c2 +m()c4)21dE =—(p2c2 +a??qC4) 2 2pc2dp2pc2dp t …= =vdp :. AE = i)卜pmeh :.AE • Ar = v\p • Ar = Ap • > —测不准关系是普遍原理，是物质的客观规律不是测量技术和主管能力的问题 是波粒二象性的必然结果6.2角动量的测不准关系・・・[&., Ly ] = itiLz 方 2 1.・.(M,)2. ALv)2>-L/当体系处于來征态时， 方2 1(A)2. A厶)2 n—伽方)2=—加2护 6 2.1)4 46. 3力学量完全集合为完全确定状态所需要的一组相互对易的力学量算符的本征值的最小数目 称为力学量完全集合。

有些情况[5]下力学量戶本征值是全部简并或部分简并的, 一个本征值对应若干个本征函数所以，只以戶的木征值不足以完全确定波函数 这时必定存在和戶独立而乂和斤对易的其它力学量算符e如果戶、e的共同 木征函数仍然有简并，则必定还存在独立于斤e而乂和斤、均对易的具它力 学量算符，戶，e而又均对易的其它力学量算符mF 6 m的共同本征函数是 否还有简并？ 一组和互对易而又相互独立的力学量算符，如果它们的共同木征函 数系是非简并的，即这一组本征值完垒确定一个共同本征函数，刚这组力学量称 为力学量完全集完全集中力学量的数冃一•般称为体系的自由度7结论木文讲了算符，算符和算符之间的对易关系和测不准关系，对易关系的物理 意义，对易关系和测不准关系的证明通过这种内容我们可以得到算符Z间的关 系对易关系和不对易关系，如果算符对易则同时有确定值；若不对易，不存在共 同本征函数，不能同时具有确定值那么，必然导致有些力学量不能同时确定参考文献：[1] 曾瑾言 量子力学卷I [M].北京:,2007.[2] 曾瑾言 量子力学教程[M],北京：科学出版社，2004.⑶鹏程 量子力学 [M].北京：高等教育出版社，2。