
流体力学六七八章(共八章).pdf
76页第六章第六章 粘性流体力学基础粘性流体力学基础 在前面几章中着重分析了无粘流体的运动这一简化的流体模型可以成功地解决一些实际问题 例如流线型物体表面的压强分布和所受到升力等;但对另一些问题,例如求物体所受到流体阻力等, 却导致荒谬的结论( “达朗贝尔佯谬” ) 事实上,物体所受到流体阻力包括摩擦阻力和压差阻力摩 擦阻力是由流体的粘性引起的,这一章集中研究粘性效应问题 粘性流体的运动有两种状态:层流和紊流前者的流线层次分明,后者的流体质点运动杂乱无 章 由于空气和水的粘性系数较小,粘性的影响局限在物面附近的一个薄层(就是边界层中) 在边 界层中,粘性流动的动量方程可以得到很大简化 本章探讨粘性流动的一般特点和研究方法,并重点介绍边界层理论边界层理论对于计算物体 的摩擦阻力与传热有重要意义 第一节 粘性流体中的应力及广义牛顿内摩擦定律 第一节 粘性流体中的应力及广义牛顿内摩擦定律 一、粘性流体中应力的表示法 在无粘流体中,只有法向力,没有切向力在粘性流体中,除了法向力,还有切向力,在直角 坐标系下取一个平行六面体,见图 6-1(a) ,在每个表面上的力都可分成三个分量,这里第一个脚 标代表所研究的表面的法线方向,第二个脚标代表该力是那个坐标轴的投影。
这时对一个点来说可 得到 9 个应力分量,它们表示出该点的应力状态 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ zzzyzx yzyyyx xzxyxx ppp ppp ppp (6-1) 图 6-1 一点的应力状态 这 9 个应力分量并不是独立的,以垂直于 z 轴的平面流动为例,参看图 6-1(b) ,对通过 C 点 平行于 z 轴的轴取矩,得到 65 0 2 )( 22 )( 2 = ∆ ∆∆∆ ∂ ∂ +− ∆ ∆∆− ∆ ∆∆∆ ∂ ∂ ++ ∆ ∆∆ y zxy y p p y zxp x zyx x p p x zyp yx yxyz xy xyxy 略去高阶微量 yxxy pp= 同理有 , zyyz pp= xzzx pp= 这样式(6-1)中的 9 个分量可以简化为 6 个分量在习惯上我们将切向应力用τ来代表,因此 (6-1)可改写为: ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ zzyzzx yzyyyx xzxyxx p p p ττ ττ ττ (6-2) 现在我们引入主轴和主应力的概念 在材料力学中曾提到过弹性体的主轴和主应力的概念如果作用面的法线沿某一方向,这时作 用面上的应力沿法线方向,即仅有法向分量而无切向分量,则这个应力称为主应力。
如果以这个作 用面的法线方向为坐标轴,则这个坐标轴称为主轴 与之对应当,粘性流体也有类似性质,也存在主轴和主应力因此如果取主轴方向为坐标轴方 向,则式(6-2)将简化为 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 3 2 1 00 00 0 p p op (6-3) 式中为粘性流体的主应力,即式(6-2)所表示的 6 个分量可进一步简化为 3 个分量, 且具有以下性质: 321 ,,ppp =++=++ 321 pppppp zzyyxx 常数 (6-4) 可见任意三个互相垂直的表面上的法向应力之和为一常数,它等于三个主应力之和,而与它们 作用面的方位无关 由于表面力的存在,粘性流体的压强也与无粘流体不同,定义为 )( 3 1 )( 3 1 321 ppppppp zzyyxx ++−=++−= (6-5) 上式的负号是由于规定法向应力以拉力为正,压力为负,而 p 却以压力为正在这种定义下粘 性流体的压强大小与方向无关,仅是坐标和时间的标量函数 ),,,(tzyxpp = 要注意区别粘性流体压力与理想流体压力的概念:理想流体压力就是作用在物体表面上沿法线 方向的表面应力,但在粘性流体中在物体表面上沿法线方向的表面应力却是法向应力,而不是粘性 流体压力。
二、广义的牛顿内摩擦定律 66 我们将研究平面运动中得到的牛顿内摩擦定律加以推广,可以得到广义的牛顿内摩擦定律,它 的推导过程在各种流体力学教科书中均有描述,本讲义将其直接写出 对于剪切应力: ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ == x v y v y x yxxy µττ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ == y v z v z y zyyz µττ (6-6) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ == z v x v xz xzzx µττ 上述三式将剪切应力用剪切变形率表达 对于法向应力: ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ +−= z v y v x v x v pp z y xx xx µµ 3 2 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ +−= z v y v x v y v pp z y x y yy µµ 3 2 2 (6-7) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ +−= z v y v x v z v pp z y xz zz µµ 3 2 2 上述三式将法向应力用直线变形率表达。
也可以将上述三式写成如下形式: xxxx ppp∆+−= yyyy ppp∆+−= (6-8) zzzz ppp∆+−= 式中 zzyyxx ppp∆∆∆,,表示由于粘性引起的附加法向应力对于无粘流体,0=µ,因此它们均 等于零,此时 pppp zzyyxx −=== (6-9) 即在无粘流体中,其法向应力就是压力,法向应力的大小与方向无关 第二节 粘性流体的运动微分方程和能量方程 第二节 粘性流体的运动微分方程和能量方程 一、微分形式的动量方程-纳维-斯托克斯方程 这一方程在粘性流体动力学中的地位相当于欧拉运动微分方程总理想流体动力学中的地位,即 将它积分求解,可以求出粘性流体的速度分布和压力分布用类似于推导欧拉方程的方法来推导粘 性流体的动量方程 参看图 6-1(a)所示的平行六面体,首先建立 x 方向的动量方程 67 沿 x 方向正应力分量:zyx x pxx ∆∆∆ ∂ ∂ )( 沿 x 方向切应力分量:yxz z p zxy y p zx yx ∆∆∆ ∂ ∂ +∆∆∆ ∂ ∂ )()( 沿 x 方向质量力分量:zyxfx∆∆∆ρ 列出动量方程 zyx z p y p x p zyxfzyx Dt Dv zx yx xx x x ∆∆∆ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ +∆∆∆=∆∆∆)(ρρ 简化为: )( 1 z p y p x p f Dt Dv zx yx xx x x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ += ρ 将根据广义牛顿内摩擦定律得到的应力表达式代入上式, )]([ 1 )]([ 1 )]}( 3 2 2[{ 11 z v x v zx v y v y z v y v x v x v xx p f Dt Dv xz y x z y xx x x ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ −= µ ρ µ ρ µ ρρ 引入运动粘性系数ν、速度的散度vdivr和拉普拉斯算子∆,并视µ为常数,上式可简写为: xx x vvdiv xx p f Dt Dv ∆+ ∂ ∂ + ∂ ∂ −=ν ν ρ )( 3 1r (6-10) 其中 2 2 2 2 2 2 zyxz v y v x v vdiv z y x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∆ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ == r ρ µ ν 同理有 y 向和 z 向的动量方程: yy y vvdiv yy p f Dt Dv ∆+ ∂ ∂ + ∂ ∂ −=ν ν ρ )( 3 1r (6-11) zz z vvdiv zz p f Dt Dv ∆+ ∂ ∂ + ∂ ∂ −=ν ν ρ )( 3 1r (6-12) 粘性流动的上述动量方程也称为 Navier-Stokes 方程,简称为 N-S 方程。
对于不可压流体,连续方程为: 0= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = z v y v x v vdiv z y x v 因而 N-S 方程可进一步简化,写为矢量形式为: vpf Dt vDr r r ∆+−=ν ρ grad 1 (6-13) 68 对于无粘流体,0=ν, (6-13)变为: pf Dt vD grad 1 ρ −= r r (6-14) 它就是无粘流体的动量方程―欧拉方程 二、粘性流体的能量方程 粘性流体运动的能量方程的推导办法与 N-S 方程的类似,下面直接将粘性流体的能量方程写 出: )( 1 })div( 3 2 2{ 1 2 2 2 2 2 2 2 gradTdivv y v z v x v z v x v y v z v y v x v Dt Dp Dt DT c z y zx y xz y x p λ ρ ν ρ +− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ += v (6-15) 如果把{}中的表达式用 d φ代表,则 )( 11 gradTdiv Dt Dp Dt DT c dp λ ρ νφ ρ ++= (6-16) d φ叫做耗散函数,它与流体微团变形过程中摩擦力做功有关,同时也就与摩擦产生的热有关, 其中一部分与体积变化有关,一部分与剪切变形有关。
可以看出,它由一些平方项组成,所以当流 动倒转方向时其值不变 三、粘性流体运动的精确解 粘性流体运动的 N-S 方程为一很难解的二阶偏微分方程另外,在工程中经常遇到的粘性流动 都有很复杂的流动边界,而且在流场中的流动参数往往都随时间与空间位置的不同做着相互影响的 变化所以在用 N-S 方程及其初边值条件求解粘性流动中的速度、压力、温度等流动参数的分布时 往往遇到数学上的困难,一般只能求助于数值解但对一些流动边界简单,可变流动参数的数目较 少的粘性流动的解析解还是可以得到的有一些这样的流动其本身就有实用意义,另一些情况下精 确解也可作为数值解法精确程度的判定 比较著名的粘性流动的精确解有:不可压缩流体的库埃特流动、圆管中的粘性层流、旋转同心 圆管间的粘性流动等我们在本节以不可压缩流体的库 管中的粘性层流在第四节研究 埃特流动为例,研究粘性流动的精确解圆 例 6-1】研究两平行平板之间的不可压定常粘性流 距为 h 的无限长平板, 图 6-2 库埃特流动 【 动―库埃特(Couette)流动 【解】参看图 5-2有两块相 下板不动,上板以速度 U 运动沿 x 方向的压力梯度 为常数 由题意知0=,写出基本方程: y v 69 连续方程 0= ∂ ∂ x vx 由连续方程得: )(yvv xx = 动量方程(N-S 方程) 2 2 0 dy vd dx dp x µ+−= 这是一个求速度的二阶常微分方程。
因为)(yvx dx dp 是 x 的函数,与 y 无关,因此方程经两次积 分可得: 21 2 2 1 )(CyC y dx dp yvx。












