1行列式典型习题解析.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑1行列式典型习题解析 1 行列式 1.1 内容提要 a11a12a22an2a1na2nann?j1j21.1.1 n阶行列式的定义D?a21an1?(?1)?(j1j2jnjn)a1j1a2j2anj2 1.1.2 行列式的性质 1．行列式与它的转置行列式相等，即D?DT； 2．交换行列式的两行（列），行列式变号； 3．行列式中某行（列）元素的公因子可提到行列式外面来； 4．行列式中有两行（列）元素一致，那么此行列式的值为零； 5．行列式中有两行（列）元素对应成比例，那么此行列式的值为零； 6．若行列式中某行（列）的元素是两数之和，即 a11D?ai1?bi1an1a12ai2?bi2an2a1nain?bin anm1a11a12ana11ab12anbin ann1那么 D?ai1an1a12an2ain?biannan1121an27．将行列式某行（列）的k倍加到另一行（列）上去，行列式的值不变 1.1.3 行列式依行（列）开展 1．余子式与代数余子式 （1）余子式的定义 去掉n阶行列式D中元素aij所在的第i行和第j列元素，剩下的元素按原位置次序所构成的n?1阶行列式称为元素aij的余子式，记为Mij。

（2）代数余子式的定义 aij的代数余子式记为Aij，Aij?(?1)i?jMij 2．n阶行列式D依行（列）开展 （1）按行开展公式 ?（2）按列开展公式 ?DaijAkj???0j?1ni?ki?k ?1.1.4 范德蒙行列式 1x1D?x12?DaijAis???0i?1nj?s j?s1x22x21xn2xn?1?i?j?n?(xj?xi) x1n?1n?1x2n?1xn1.1.5 特殊矩阵的行列式及逆矩阵 1．单位阵E：E?1E?1?E 1E k2．数量矩阵kE：kE?kn；当k?0时，(kE)?1?3．对角阵： ??1??2????????? 那么????12???n??n； ?1???1??1若?1?2??n?0，那么????????1?2????? ???1??n??4．上（下）三角阵 ?a11?设A?????a22*??a11???或?????ann??a22*???，那么A?aa1122??ann?ann 若A?0，那么A?1仍为上（下）三角阵 1.1.6 克莱姆法那么 1． 定义：设线性方程组的系数矩阵A是n阶矩阵（即方程个数m?未知数个数，那么 n） A?0时，方程组唯一解，此解为 ?D1D2Dn?,,?,?AAA??? ?? ?b1????b2?Di是A的第i列用??代替后所得n阶行列式。

????b??n?1.2 重点 计算行列式 数字型行列式的计算，含参数行列式的计算，抽象型行列式的计算 1.3 典型习题 1.3.1 数字型行列式的计算 例1 计算行列式 00Dn??bn?1a1000a2000???0b2?0b10?0an?100? 0bn???a3?an?2解：由于前n-1行都只有一个元素不为0，由行列式定义知Dn只含一项：b1b2… bn，且符号为(?1)?(n?1,,1,n)?(?1)(n?2)(n?1)2,从而 (n?1)(n?2)Dn?(?1)2b1b2?bn 例2 计算以下行列式 aa2bb2cc2 b?ca?ca?babcabcb2c2?a2b2c2解: a2 b?ca?ca?ba?b?ca?b?ca?b?ca?(a?b?c)a21bb21c11bb21c?(a?b?c)(b?a)(c?a)(c?b) c2c2?(a?b?c)a1a2例3 计算以下n阶行列式 x?aaDn?a?aax?aa?aaa?a???aaa?x?a? ?x?a解: Dn?[x?(n?2)a](x?2a)n?1 说明：确定要留神此种形式的行列式；例如： axxaxx??xxDn?xxa?x?[a?(n?1)x](a?x)n?1 ?????x01Dn?111aDn?aax1011a1aa1101aa1ax?????????11a1?(?1)n?1(n?1) 0aaa?[1?(n?1)a](1?a)n?1 1??????????1?a11122?a2a2例4 计算行列式。

333?a34444?a1?a111a?10a?10a?10a?1022?a2a222?a22?解：D4? 333?a3333?a34444?a4444?a1111122?a220?(a?10) ?(a?10)333?a304444?a01a0010a010?(a?10)a3 0a例5 设行列式 304222D?0?7053?202 02求第四行各元素的余子式之和的值 解：由行列式开展知，D的第四行各元素余子式之和的值为行列式 304222D1?0?70?11?102的值 01由于将D1接第四行开展得 D1?(?1)A41?A42?(?1)A43?A44 ?(?1)(?1)4?1M41?(?1)4?2M42?(?1)(?1)4?3M43 ?M41?M42?M43?M44 304222D1?0?70?11?1?73444?7?104403403402?(?7)(?1)3?2222?74420?1?1?10011??28 从而D中第四行各元素的余子式之和的值为-28 — 4 —。