2012考研数学三真题.doc

2012年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题解析 一、 选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出 的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母 填在答题纸指定位置上. （1）曲线 渐近线的条数为（ ） 2 2 1 x x y x    （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （2）设函数 ，其中n为正整数， 2 ( ) ( 1)( 2) x x nx f x e e e n    … 与- 与 则 =（ ） (0) f  （A） （B） 1 ( 1) ( 1)! n n    ( 1) ( 1)! n n   （C） （D） 1 ( 1) ! n n   ( 1) ! n n  （3）设函数 连续，则二次积分 =（ ） ( ) f t 2 2 2 0 2cos ( ) d f r rdr      （A） 2 2 2 4 2 2 2 2 0 2 ( ) x x x dx x y f x y dy       （B） 2 2 2 4 2 2 0 2 ( ) x x x dx f x y dy      （C） 2 2 2 2 2 2 0 2 1 4 ( ) 2 x dx x y f x y dy x x        （D） 2 2 2 2 0 2 1 4 ( ) 2 x dx f x y dy x x       （4）已知级数 绝对收敛， 条件收敛，则 1 1 ( 1) sin n i n n      2 1 ( 1) n i n       范围为（ ） （A）0< （B） < 1  1 2  1 2   （C）1< （D） < <2   3 2 3 2  （5）设 其中 1 2 3 4 1 2 3 4 0 0 1 1 0 , 1 , 1 , 1 c c c c                                                   为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ） 1 2 3 4 c c c c 与 与 与 （A） （B） 1 2 3    与 与 1 2 4    与 与 （C） （D） 1 3 4    与 与 2 3 4    与 与 （6）设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P -1 AP= 1 1 2           与 则 1 2 3 = P    与 与 与 与 与 1 2 2 3 = Q     与+ 与 与 与 1 = Q AQ   与 与 （A） （B） 1 2 1           1 1 2           （C） （D） 2 1 2           2 2 1           （7）设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀 分布，则 （ ） +     22 与1 与 （A） （B） （C） （D） 1 4 1 2 8  4  （8）设 为来自总体 的简单随 1 2 3 4 X X X X 与 与 与 N    2 与1 与 与 与0 与机样本，则统计量 的分布（ ） 1 2 3 4 | + -2| X X X X  （A） （B） （C） （D） N 与0 与1 与 (1) t 2 (1)  (1,1) F 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答 题纸指定位置上. （9） 1 cos sin 4 lim(tan ) x x x x    （10）设函数 ___________. 0 ln , 1 ( ) , ( ( )), 2 1, 1 x dy x x f x y f f x dx x x           与 （11）函数 满足 则 ( , ) z f x y  2 2 0 1 ( , ) 2 2 lim 0, ( 1) x y f x y x y x y         _______. (0,1) dz  （12）由曲线 和直线 及 在第一象限中所围图形的 4 y x  y x  4 y x  面积为_______. （13）设A为3阶矩阵，|A|=3，A * 为A的伴随矩阵，若交换A的第 一行与第二行得到矩阵B，则|BA * |=________. （14）设A,B,C是随机事件，A,C互不相容， 则 _________. 1 1 ( ) , ( ) , 2 3 P AB P C   C P A  与 与= 三、 解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位 置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15） （本题满分10分）计算 2 2 2cos 4 0 lim x x x e e x    （16） （本题满分10分） 计算二重积分 ，其中D为由曲线 所围区 x D e xydxdy   1 y x y x   与 域. （17） （本题满分10分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投 入的固定成本为10000（万元） ，设该企业生产甲、乙两种产品的产 量分别为x(件)和y(件)，且固定两种产品的边际成本分别为 20+ （万元/件）与6+y（万元/件）. 2 x 1）求生产甲乙两种产品的总成本函数 （万元） ( , ) C x y 2）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本 最小？求最小的成本. 3）求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释 其经济意义. （18） （本题满分10分）证明： 2 1 ln cos 1 , 1 1. 1 2 x x x x x x         （19） （本题满分10分）已知函数 满足方程 ( ) f x 及 ( ) ( ) 2 ( ) 0 f x f x f x      ( ) ( ) 2 x f x f x e    1）求表达式 ( ) f x 2）求曲线的拐点 2 2 0 ( ) ( ) x y f x f t dt    （20） （本题满分10分） 设 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 a a A b a a                            与 （I）求|A| （II）已知线性方程组 有无穷多解，求 ，并求 的通 Ax b  a Ax b  解.(21)（本题满分10分） 已知 二次型 的秩为2， 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 A a a                与 1 2 3 ( , , ) ( ) f x x x x x    A A （1）求实数a的值；（2）求正交变换x=Qy将f化为标准型. （22） （本题满分10分） 已知随机变量X,Y以及XY的分布律如下表所示： X 0 1 2 P 1 2 1 3 1 6 Y 0 1 2 P 1 3 1 3 1 3 XY 0 1 2 4 P 7 12 1 3 0 1 12 求（1）P(X=2Y); （2） . cov( , ) XY X Y Y   与 （23） （本题满分10分） 设随机变量X和Y相互独立，且均服从参数为1的指数分布， min( , ), =max( , ). V X Y U X Y  求（1）随机变量V的概率密度； （2） . ( ) E U V 。