角平分线的性质定理及其逆定理.doc

角平分线的性质定理及其逆定理-、 基础概念学习目标：掌握角平分线的性质定理及其逆定理的证明和简单应用，掌握尺规作图做角平分线，规范 证明步骤1）角平分线的性质定理证明：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等证明角平分线的性质定理时，将用到三角形全等的判定公理的推论： 推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 （AAS）推导过程：已知：0C平分/ MON , P是0C上任意一点，PA丄OM , PB丄ON , 垂足分别为点A、点B.求证：PA = PB.M证明：••• PA丄 OM , PB丄 ON•••/ PAO = Z PBO= 90 °•/ OC 平分/ MON•••/ 1 = Z 2在厶PAO和厶PBO中，PAOPBO• PA= PB②几何表达:（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）如图所示，••• OP 平分/ MON (/ 1 = Z 2), PA 丄 OM , PB 丄 ON ,• PA= PB.(2) 角平分线性质定理的逆定理到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上推导过程已知：点 P是/ MON内一点，PA丄OM于A, PB丄ON于B,且PA= PB. 求证：点P在/ MON的平分线上.证明：连结0P在 RtA PAO 和 RtA PBO 中，••• RtA PAOB RtA PBO ( HL)•••/ 1 = Z 2• OP 平分/ MON即点P在/ MON的平分线上.② 几何表达：(到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. )如图所示，••• PA丄 OM , PB丄 ON , PA= PB•••/ 1 = Z 2 (OP 平分/ MON )(3) 角平分线性质及判定的应用① 为推导线段相等、角相等提供依据和思路；② 实际生活中的应用.例：一个工厂，在公路西侧，至U公路的距离与到河岸的距离相等，并且到河上公路桥头的距离为 米•在下图中标出工厂的位置，并说明理由.（4）角平分线的尺规作图活动三：观察与思考： 尺规作角的平分线观察下面用尺规作角的平分线的步骤（如图），思考这种作法的依据。

步骤一：以点0为圆心，以适当长为半径画弧，弧与角的两边分别交 于A，B两点由作图可知： 0A = 0B步骤二：分别以点A ,B为圆心，以固定长（大于AB长的一半）为半 径画弧，两弧交于点C由作图可知:ACBC步骤三：作射线由作图可知：0C,贝U 0C就是/ AOB的平分线 定理，可得 刍 同学们，讨论交流一下，你能说出作图的每一步骤的依据是什么吗？试用证明的方法说出作图的正确性二、【典型例题】例1.已知：如图所示，/ C=/C'=90°,AC = AC' 求证：（1）Z ABC=Z ABC';（2） BC= BC'（要求：不用三角形全等判定）.例2.如图所示，已知△ ABC中，PE// AB交BC于E，PF// AC交BC于F, P是AD上一点, 且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分/ BAC，并说明理由.A例3.如图所示，已知△ ABC的角平分线BM, CN相交于点P,那么AP能否平分/ BAC? 请说明理由•由此题你能得到一个什么结论？例4.如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路， 学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的 P点处，距公路400m，现分别以公路、铁路所在直线为 x轴、y轴建立平面直角坐标系.(1)学校距铁路的距离是多少？(2 )请写出学校所在位置的坐标.例5.如图所示，在△ ABC中，/ C= 90°,AC= BC，DA平分/ CAB交BC于D，问能否在 AB上确定一点丘，使厶BDE的周长等于AB的长？若能，请作出点E,并给出证明；若不能， 请说明理由.练习一一、填空题：1•如图1-31，△ ABC中，AD是BC的垂直平分线， BE平分/ ABC交AD于E, EF丄AB ,则AB = ，BF= ;2•已知：如图 1-32，在 RtAABC 中，/ C = 90 ° AC = BC BD平分/ ABC交 AC 于 D, DE丄 AB于E,若BC= 5,则厶DEC的周长为C图 1-31二、选择题：1. 如图 1-33 , △ ABC 中，/ B = 42 ° AD丄 BC于 D, E是 BD 上一点，EF丄 AB于 F,若 ED =EF则/ AEC的度数为（ ）；A. 60 ° B. 62 ° C. 64° D. 662. 给出下列命题：①②③④垂直于同一条直线的两直线平行； 角平分线上的点到角两边的距离相等; 三角形的三条角平分线相交于一点； 全等三角形的面积相等；C其中原命题和逆命题都是真命题的共有（A. 1个 B. 2个三、解答题：如图1-34，已知：△ ABC中，BF.求证：BF是/ ABC的平分线•C. 3个)•D. 4个/ BAC = 90 °AD丄 BC于 D, AE平分/ DAC, EF± BC交 AC 于 F,连接【综合练习】已知：如图1-35，△ ABC中, 求证：DC丄AC.AB = 2 AC, AD 平分/图 1-34例题答案 例1.已知：如图所示，/ C=/C'=90°,AC = AC' 求证：（1）Z ABC=Z ABC'；（2） BC= BC'（要求：不用三角形全等判定）.证明：（1）vZ C=Z C'€0°（已知）••• AC丄BC, AC'EC'（垂直的定义）. 又••• AC= AC（（已知）,•••点A在/ CBC的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）• •••/ ABC=Z ABC'.（2 ）vZ C=Z C ；Z ABC=Z ABC',• 180 ° -（JC+Z ABC）= 180 ° -（ZC '+/ ABC ）（三角形内角和定理）. 即/ BAC=Z BAC ,••• AC 丄 BC, AC '丄 BC ；• BC= BC '（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）.例2.如图所示，已知△ ABC中，PE// AB交BC于E, PF// AC交BC于F, P是AD上 点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分Z BAC,并说明理由.A解：AD平分Z BAC.••• D到PE的距离与到PF的距离相等，•••点D在Z EPF的平分线上.• Z 1 = Z 2.又••• PE// AB,：Z 1 = Z 3. 同理，Z 2 = Z 4.• Z 3=Z 4,二 AD 平分Z BAC.例3.如图所示，已知△ ABC的角平分线BM, CN相交于点P,那么AP能否平分Z BAC? 请说明理由.由此题你能得到一个什么结论？解: AP 平分 Z BAC.结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 理由：过点P分别作BC, AC, AB的垂线，垂足分别是E、F、D.••• BM是Z ABC的角平分线且点 P在BM 上,• PD= PE （角平分线上的点到角的两边的距离相等）.同理 PF= PE,： PD= PF.• AP平分Z BAC （到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）.例4.如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路， 学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的 P 点处，距公路400m，现分别以公路、铁路所在直线为 x轴、y轴建立平面直角坐标系.（1）学校距铁路的距离是多少？（2 ）请写出学校所在位置的坐标.解：(1 )•••点P在公路与铁路所夹角的平分线上，•••点P到公路的距离与它到铁路的距离相等，又•••点P到公路的距离是400m ,•••点P (学校)到铁路的距离是400m .(2)学校所在位置的坐标是(400, - 400).评析：角平分线的性质的作用是通过角相等再结合垂直证明线段相等.例5.如图所示，在△ ABC中，/ C= 90°,AC= BC, DA平分/ CAB交BC于D，问能否在 AB上确定一点丘，使厶BDE的周长等于AB的长？若能，请作出点E,并给出证明；若不能， 请说明理由.解：能.过点D作DE丄AB于丘，则厶BDE的周长等于AB的长.理由如下:••• AD 平分/ CAB, DC丄AC, DE丄AB,• DC= DE.在 RtA ACD 和 RtA AED 中，，• RtA ACD^ RtA AED ( HL).• AC = AE.又••• AC= BC,： AE= BC.• △ BDE 的周长=BD+ DE+ BE= BD+ DC+ BE= BC+ BE= AE+ BE= AB.1.4角平分线练习一【基础练习】 一、1. AC, BD; 2. 5 2.二、1. D; 2. A.三、提示：证 AF = EF【综合练习】提示：作 DE丄AB证厶ADC ADE.。