理论力学11梁的位移计算.ppt

第十一章 梁的位移计算2021/6/161梁的位移计算工程实例22021/6/162梁的位移计算工程实例32021/6/163梁的位移计算工程实例 本章对平面弯曲下梁变形的基本概念、基本方法以及简单静不定梁进行简要介绍42021/6/164梁的位移计算§１１－１挠度、转角及其相互关系挠曲线：梁变形后的轴线 在小变形情况下，任意横截面的形心位移是指ｙ方向的线位移，截面形心垂直于轴线方向的线位移称为挠度yAqθB xxvl向上为正，向下为负v = f ( x)－－挠曲线方程弯曲变形时，横截面绕中性轴转动的角度称为转角θ = θ ( x)－－转角方程逆转为正，顺转为负52021/6/165梁的位移计算qθBAxvlθ dvθ ≈ tgθ = dx 横截面的转角与挠曲线在该截面处的斜率近似相等，即挠曲线方程的一阶导数为转角方程62021/6/166梁的位移计算§１１－２曲率公式挠曲线微分方程qθB 1M ( x) =ρ ( x) EI zAxvlθ挠曲线为一平面曲线，其上任一点的曲率1ρ=±d v 2dx⎡ ⎛ dv ⎞⎢1 + ⎜⎟⎢ ⎝ dx ⎠⎣22⎤⎥⎥⎦3±2d v 2dx dv 2 ⎤⎡ 1+ ( ) ⎥⎢ dx ⎦⎣322 M ( x)= EI z微小量－挠曲线微分方程72021/6/167梁的位移计算在小变形情况下dvM =± 2dxEI z2正负号与弯矩符号规定及所取坐标系有关yM >0d v >0 2dx2yM <0d v <0 2dx2O2xOxd vM = 2dxEI z－挠曲线近似微分方程82021/6/168梁的位移计算§１１－３积分法求梁的位移d vM ( x) = 2dxEI z2 dvM ( x)θ ( x) = = ∫ dx + C dxEI z ⎛ M ( x) ⎞v( x) = ∫ ⎜ ∫ dx ⎟dx + Cx + D ⎝ EI z⎠C,D 为积分常数，由梁的位移约束条件确定。

挠曲线近似微分方程通解的积分常数确定以后，就得到了挠曲线方程和转角方程，这种求梁变形的方法称为积分法92021/6/169梁的位移计算确定积分常数的条件有两类：边界条件和变形连续条件边界条件：位于梁支座处的截面，其挠度或转角常为零或为已知ylxylx固定铰链支座固定端约束x = 0, v = 0x = l, v = 0 ⎧v = 0x = 0⎨ θ =0 ⎩102021/6/1610梁的位移计算变形连续条件：位于梁的中间截面处，其左右极限截面处的挠度和转角相等在中间铰链位置左右极限截面的挠度相等y2l 3 lx边界条件变形连续条件 2x = 0, v = 0; x = l , v = 0 3 2x = l , v1 = v2 ,θ1 = θ 2 ; 3112021/6/1611梁的位移计算思考： 用积分法计算图示梁的挠度和转角，其边界条件和连续条件是什么？yqxlax = a+l v = 0 θ = 0答：边界条件 x = 0 v = 0连续性条件 x = lv1 = v2122021/6/1612例１ 如图所示悬臂梁，在自由端受集中力Ｐ作用，设ＥＩ为常量，试求梁的最大挠度和最大转角。

解 １、建立挠曲线近似微分方程取坐标系如图所示，弯矩方程PylxM ( x) = − P (l − x) = P ( x − l )d v P( x − l ) = 2dxEI z2x２、积分求通解 PP xθ =∫ ( x − l )dx =( − lx) + C EI zEI z 22132021/6/1613例１2 PP x θ =∫ ( x − l )dx =( − lx) + C EI zEI z 2 32 P x lxPv = ∫∫ ( x − l )dxdx =( − ) + Cx + D EI zEI z 62３、确定积分常数Pxx=0 θ =v=0C =D=0４、转角方程和挠曲线方程 P xθ=( − lx) EI z 223ylx2 P x lxv=( − ) EI z 62５、确定最大挠度和最大转角 θ max Pl=− 2 EI z2 Plv=− 3EI z3142021/6/1614例２求简支梁挠曲线方程，ｑ已知，EI为常数。

解１、建立挠曲线微分方程yqd v M ( x) 1 11 2 ==( qlx − qx ) 2dxEI zEI z 22２、积分求通解2 11 2M ( x) = qlx − qx 22Aql2B xxlql2 ql 2 q 3 EI zθ = x − x + C 46 ql 3 q 4EI z v = x −x + Cx + D 1224152021/6/1615例２ ql 2 q 3EI zθ = x − x + C 46yq ql 3 q 4EI z v = x −x + Cx + D 1224３、确定积分常数AB xql2x=0v=03x=lD=0v=0ql2xl qlC=−, 24４、转角方程和挠曲线方程 q l 2 1 3 lθ=( x − x − ) EI z 46243 qx l 2 1 3 lv=x − )( x − EI z 1224241632021/6/1616例３求简支梁最大挠度，Ｆ已知，EI为常数。

解１、建立挠曲线微分方程yaFbAx1x2lCB xa Fl bM 1 ( x1 ) = F x1 l b F(0 ≤ x1 ≤ a ) l bM 2 ( x2 ) = Fx2 − F ( x2 − a ) l(a ≤ x2 ≤ l ) d v bEI 2 = Fx1 dxl22(0 ≤ x1 ≤ a ) d v bEI 2 = Fx2 − F ( x2 − a ) dxl(a ≤ x2 ≤ l )172021/6/1617例３２、分两段积分 b 2EIθ 1 =Fx1 + C1 2l b 3EIv1 = Fx1 + C1 x1 + D1 6ly bF 2 F2EIθ 2 =x2 − ( x2 − a ) + C2 2l2aFbAb FlB xa Flx1x2lC bF 3 F3EIv2 =x2 − ( x2 − a ) + C 2 x2 + D2 6l6３、确定积分常数x1 = 0, v1 = 0x2 = l , v2 = 0x1 = x2 = a ,v1 = v2 θ 1 = θ 2 Fb 22C1 = C2 = −(l − b ) 6lD1 = D2 = 0182021/6/1618例３４、转角方程和挠曲线方程 bFx1 2 2 2 Fb 2 22 EIv1 =( x1 − l + b )EIθ 1 =( x1 − l + b ) 6l 6l bF3l 2222 [3 x2 − l + b − ( x2 − a ) ]EIθ 2 = 6lb bF 3 2l 23EIv2 =[ x2 − l + b − ( x2 − a ) ] 6lb５、求最大挠度设：a>b,则最大挠度在AC段。

最大挠度处截面的转角为零32θ1 = 0x0 =l −b 322vmax Fbl ⎛ b ⎞=−1− 2 ⎟⎜ 9 3EI ⎝ l ⎠22192021/6/1619梁的位移计算§１１－４叠加法求梁的位移 在小变形和材料服从胡克定律的条件下导出挠曲线近似微分方程d vM ( x) = 2dxEI z2此方程为线性方程外力和弯矩之间也为线性关系}挠度和转角和外力之间为线性关系 当梁上作用几种载荷时，各载荷同时作用引起变形，等于各载荷单独作用引起的变形的代数和－－叠加原理叠加法求梁的变形202021/6/1620梁的位移计算梁在简单载荷作用下的变形212021/6/1621梁的位移计算222021/6/1622梁的位移计算232021/6/1623梁的位移计算242021/6/1624梁的位移计算252021/6/1625梁的位移计算思考：应用叠加法求梁的位移，必须满足的条件是什么？答：小变形，材料符合胡克定律262021/6/1626梁的位移计算43已知图1B点的挠度和转角分别为 ql / 8 EI ， ql / 6 EI ，图2C截面的转角为多少？qAlBql / 8 EI3qABCll272021/6/1627例４如图所示简支梁，ｑ，Ｆ，ＥＩ已知，试利用叠加法求vc解将荷载分解为两组qFAl/2lCBqAlB4l/2FAlB3 5qlvc1 = − 384EI 5qlFlvc = vc1 + vc 2 = −− 384EI 48EI43 Flvc 2 = − 48EI282021/6/1628例５如图所示悬臂梁，ｑ，ＥＩ已知，试利用叠加法求vB解 B为自由端，为自由端，CB段无内力，段无内力， 梁变形后CB段必保持为直线 q(l / 2)ql =−vC = − 8EI128EI 33 q (l / 2)qlθC = − =− 6 EI48 EI44qAl/2 θCCθClBv B1vB2v B1 ql= vC = − 128 EI44vB 2 llql= tan θ C = θ C = − 2296 EI44294 qlql7qlvB = vB1 + vB 2 = −−=− 128EI 96EI384EI2021/6/1629例６如图所示外伸梁，Ｆ，ＥＩ已知，试利用叠加法求vD解D为自由端，为自由端，BD段无内力，段无内力，梁变形后BD段仍保持为直线将AB段视为简支梁，查表：θB Fl= 16 EI2θBACFl /2BθBDl /2av D = aθ B Fl a= 16 EI3022021/6/1630梁的位移计算§１１－５梁的刚度条件 提高粱刚度的主要措施一、梁的刚度条件vmax ≤ [v ]θ max ≤ [θ ][v]许用挠度许用转角[θ ]一般轴滑动轴承吊车梁[v] = (0.0003 − 0.0005)l[θ ] = (0.003 − 0.005)rad[v] = (0.0013 − 0.0025)l312021/6/1631例７ 机床主轴的支撑和受力可简化为如图所示的外伸梁，其中 P 为由于切削而施加于卡盘上的力，P2 为齿轮间1的相互作用力。

主轴为空心圆截面，外径 D = 80mm ， la内径 d = 40mm ， = 400mm， = 100mm ， P = 2kN ， 1 P2 = 1kN ，材料的弹性模量为 E = 200GPa 规定主轴的许用转角和许用挠度为：卡盘Ｄ处的挠度不超过 43两轴承间距的 1 / 10 ，轴承Ｂ处的转角不超过 1 / 10 rad 试校核主轴的刚度P2ACP 1BDl /2l /2a322021/6/1632例 ７解Iz =πD464(1 − α ) = 1.885 ×10 mm464θBACP2l /2BθBD P2l −4θ B ( P2 ) = −= −0.265 ×10 rad 16 EI Z2l /2aBvD ( P2 ) = θ B ( P2 )a = −2.65 ×10 mm−3 P al −4 1θ B ( P1 ) == 0.707 ×10 rad 3EI Z Pa −3 1vD ( P ) =(l + a ) = 8.84 ×10 mm 1 3EI Z2ACP 1Dl /2l /2avD = vD ( P ) + vD ( P2 ) = 6.19 ×10 mm1−3θ B = θ B ( P1 ) + θ B ( P2 ) = 0.442 ×10 rad < [θ ]−4vD ⎡v ⎤−5= 1.548 ×10 < ⎢ ⎥ l ⎣l ⎦满足刚度要求332021/6/1633梁的位移计算二、提高粱刚度的主要措施增大截面惯性矩 因为各类钢材的弹性模量比较接近，采用优质钢材对提高弯曲刚度意义不大，所以一般选择合理的截面形状以增加惯性矩。

如：采用薄壁工字形、箱形截面，或采用空心圆轴等尽量减少梁的跨度或长度 因为梁的挠度和转角分别与梁跨度的立方和平方成正比，所以减少梁的跨度是提高粱的刚度的主要措施342021/6/1634梁的位移计算增加支撑352021/6/1635梁的位移计算改善受力情况改善受力情况可以减小弯矩，从而减小梁的挠度和转角Pylx qlv= 3EI z qlv= 8 EI z364yqxl42021/6/1636梁的位移计算§１１－６简单静不定梁 梁支座约束力的数目超出了独立的平衡方程数目，因而仅靠平衡方程不能求解－－静不定梁qABl372021/6/1637梁的位移计算变形比较法 比较基本静定系和原超静定系统在多余约束处 的变形，写出变形协调条件进行求解将Ｂ处约束去掉基本静定系 静定基相当系统AlB加上ｑ及约束力变形协调条件34qAvB = 0MA RB lqlvB =−=0 3EI 8 EIRBBlqAB38 3RB = ql 82021/6/1638梁的位移计算本章小结挠曲线、挠度、转角、挠曲线方程、转角方程v = f ( x)θ = θ ( x) dvθ ≈ tgθ = dx挠曲线微分方程±d v 2dx dv 2 ⎤⎡ 1+ ( ) ⎥⎢ dx ⎦⎣322 M ( x)= EI zd vM = 2dxEI z3922021/6/1639梁的位移计算积分法求梁的位移边界条件和连续条件 dvM ( x)θ ( x) = = ∫ dx + C dxEI z ⎛ M ( x) ⎞v( x) = ∫ ⎜ ∫ dx ⎟dx + Cx + D ⎝ EI z⎠叠加法求梁的位移梁的刚度条件θ max ≤ [θ ]vmax ≤ [v ]402021/6/1640梁的位移计算提高梁的刚度的主要措施增大截面惯性矩；改善受力情况；增加支撑；尽量减少梁的跨度或长度。

简单静不定梁－－变形比较法412021/6/1641梁的位移计算本章作业（1）已知M，F，EI=常数，试利用积分法求挠曲线方程2）已知 q=8kN/m，，l=5m ，E=200GPa ，[σ] =160MPa，，⎡ f ⎤ = 250 试选择工字钢型号⎢ l ⎥⎣⎦422021/6/1642 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！。