二分法求函数零点教学导案.doc

二分法求函数零点教案———————————————————————————————— 作者：———————————————————————————————— 日期： 2 用二分法求方程的近似解１、二分法的概念 对于在区间[a, b]上连续不断且·< 0的函数,　通过不断把函数的零点所在的区间一分为二,　使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫二分法２、用二分法求函数的零点的近似值的步骤：（１）确定区间[a, b], 验证：·< 0，确定精确度（２）求区间(a , b)的中点（３）计算 若=0, 则就是函数的零点 若·<０，则令b =（此时零点x0∈(a, )） 若·<０，则令a =（此时零点x0∈(, b)）（４）判断是否达到精确度 即若 | a – b | <,　则得到零点的近似值为a（或b），否则重复（２）～（４）3、用二分法求函数零点的条件：若函数零点左右两侧函数值符号相反，则此零点为函数的变号零点，从图象来看，若图象穿过零点，则此零点为变号零点。

否则为不变号零点二分法只能求函数的变号零点例题讲解：例1：下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（ ）解：应选B，利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号例2、 利用二分法求方程的一个近似解（精确到0.1）解：设，则求方程的一个近似解，即求函数的一个近似零点∵，，∴取区间作为计算的初始区间 用二分法逐次计算，列表如下：端点（中点）坐标计算中点的函数值取区间∵区间的左右端点精确到0.1所取的近似值都是2.6，∴函数满足题设的一个近似零点是2.6 故方程满足题设的一个近似解是2.6例3、 二次函数的部分对应值如下表：－3－2－10123460－4－6－6－406 则使函数值大于0的自变量的取值集合是___________解：由上表提供数值大于0的自变量的取值集合是评析：开口方向是解题关键信息，零点是－2，3，且开口向上，例4、已知函数的一个零点为1（1）求函数的其他零点；（2）求函数值大于0时自变量的取值范围解：（1）由题意，设， ∴ 解得令，即，解得1，－2，3 ∴函数的其他零点是－2，3（2）函数的三个零点将轴分成4个区间： ，，，作出函数的示意图，观察图象得函数值大于0时自变量的取值范围是：例5、求函数f(x)＝x2－5的负零点(精确度0.1)．【解析】　由于f(－2)＝－1<0， f(－3)＝4>0，故取区间(－3，－2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如图：区间中点中点函数值(或近似值)(－3，－2)－2.51.25(－2.5，－2)－2.250.0625(－2.25，－2)－2.125－0.484 4(－2.25，－2.125)－2.187 5－0.214 8(－2.25，－2.187 5)－2.218 75－0.077 1由于|－2.25－(－2.187 5)|＝0.062 5<0.1，所以函数的一个近似负零点可取－2.25.达标练习：1．下列函数零点不宜用二分法的是(　　)A．f(x)＝x3－8　 B．f(x)＝lnx＋3 【答案】　CC．f(x)＝x2＋2x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x＋12．用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根在区间(　　)A．(1.25,1.5) B．(1,1.25) C．(1.5,2) D．不能确定【解析】　由题意知f(1.25)·f(1.5)<0，∴方程的根在区间(1.25,1.5)内，故选A.3．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：f(1)＝－2， f(1.5)＝0.625，f(1.25)＝－0.984f(1.375)＝－0.260，f(1.437 5)＝0.16， f(1.406 25)＝－0.0542，那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.1)为________．【解析】　根据题意知函数的零点在1.406 25至1.437 5之间，因为此时|1.437 5－1.406 25|＝0.031 25<0.1，故方程的一个近似根可以是1.437 5.答案不唯一，可以是[1.437 5,1.406 25]之间的任意一个数．【答案】　1.437 54、方程x＝ln x的根的个数是(　　)A．0 B．1 C．2 D．3【解析】　方法一：令f(x)＝ln x－x， 则f(1)＝－<0，f(e)＝1－>0，∴f(x)在(1，e)内有零点．又f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，∴f(x)在定义域内仅有1个零点．方法二：作出y＝x与y＝ln x的图象观察可知只有一个交点．故选B.5、方程2x－1＋x＝5的解所在的区间是(　　)A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)【解析】　令f(x)＝2x－1＋x－5，则f(2)＝2＋2－5＝－1<0，f(3)＝22＋3－5＝2>0，从而方程在区间(2,3)内有解．故选C.6、利用计算器，算出自变量和函数值的对应值如下表：x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4…1.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.010.556…y＝x20.040.361.01.963.244.846.769.011.56…那么方程2x＝x2的一个根所在区间为(　　)A．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8) C．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0)【解】　设f(x)＝2x－x2，由表格观察出在x＝1.8时，2x>x2，即f(1.8)>0；在x＝2.2时，2x0， ∵f()·f(1)<0， 故选B.二、填空题(每小题5分，共10分)8、用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________(填区间)．【解析】　由f(2)·f(3)<0可知． 【答案】　(2,3)9、用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实数根时，取区间中间x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．【解析】　∵f(2)<0，f(2.5)>0， ∴下一个有根区间是 (2,2.5)．三、解答题(每小题10分，共20分)10、求方程2x3＋3x－3＝0的一个近似解(精确度0.1)．【解析】　设f(x)＝2x3＋3x－3，经试算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，所以函数在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有实数解，取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．如此继续下去，得到方程的一个实数解所在的区间，如下表：(a，b)(a，b)的中点f(a)f(b)f(0,1)0.5f(0)<0f(1)>0f(0.5)<0(0.5,1)0.75f(0.5)<0f(1)>0f(0.75)>0(0.5,0.75)0.625f(0.5)<0f(0.75)>0f(0.625)<0(0.625,0.75)0.687 5f(0.625)<0f(0.75)>0f(0.687 5)<0因为|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，所以方程2x3＋3x－3＝0的精确度为0.1的一个近似解可取为0.75.11、求方程ln x＋x－3＝0在(2,3)内的根(精确到0.1)．【解析】　令f(x)＝ln x＋x－3，即求函数f(x)在(2,3)内的零点．用二分法逐步计算．列表如下：区间中点中点函数值[2,3]2.50.416 3[2,2.5]2.250.060 9[2,2.25]2.125－0.121 2[2.125,2.25]2.187 5－0.029 7[2.187 5,2.25]由于区间[2.187 5,2.25]的长度2.25－2.187 5＝0.062 5<0.1，所以其两个端点的近似值2.2就是方程的根．下为学生卷用二分法求方程的近似解１、二分法的概念 对于在区间[a, b]上连续不断且·< 0的函数,　通过不断把函数的零点所在的区间一分为二,　使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫二分法。

２、用二分法求函数的零点的近似值的步骤：（１）确定区间[a, b], 验证：·< 0，确定精确度（２）求区间(a , b)的中点（３）计算 若=0, 则就是函数的零点 若·<０，则令b =（此时零点x0∈(a, )） 若·<０，则令a =（此时零点x0∈(, b)）（４）判断是否达到精确度 即若 | a – b | <,　则得到零点的近似值为a（或b），否则重复（２）～（４）3、用二分法求函数零点的条件：若函数零点左右两侧函数值符号相反，则此零点为函数的变号零点，从图象来看，若图象穿过零点，则此零点为变号零点否则为不变号零点二分法只能求函数的变号零点例题讲解：例1、下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（ ）例2、 利用二分法求方程的一个近似解（精确到0.1）例3、 二次函数的部分对应值如下表：－3－2－10123460－4－6－6－406 则使函数值大于0的自变量的取值集合是___________例4、已知函数的一个零点为1（1）求函数的其他零点；（2）求函数值大于0时自变量的取值范围例5、求函数f(x)＝x2－5的负零。