北师大版初中数学拓展资源：与矩形相关的折叠问题.doc

2019年北师大版精品数学资料与矩形相关的折叠问题在矩形的性质及判定的应用过程中，折叠类的题目是比较多见的，同时也是矩形和角平分线、勾股定理等知识的结合与拓展折叠是轴对称的另一种描述，因此，在折叠问题中找到折痕即对称轴就是解决此类问题一个突破口下面从几个不同的层面展示一下例1 将一长方形纸片按如图的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为( )．(A)60° (B)75° (C)90° (D)95°分析：在这个问题中是利用折叠矩形的两个角给大家提供条件的，那么折痕BC和折痕BD就充当了角平分线的角色，即∠ABC=∠A/BC,∠EBD=∠E/BDOACBED例2 如图，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，BE与AD相交于点O1）由折叠可得△BCD≌△BED，除此之外，图中还存在其他的全等三角形，请你找出来 2）图中有等腰三角形吗？请你找出来 3）若AB=6,BC=8,则O点到BD的距离是 分析：在这一折叠的过程中，因为是与全等有关的，所以除了像例1一样提供了角的等量关系之外，边的相等是更重要的问题（1）好解决，进而由全等三角形的对应边相等可以说明（2）的结论是等腰△OBD。

另外，还可以从另一个角度分析由折痕BD可以找到∠OBD=∠CBD，由于在矩形中，AD∥BC，∠ODB=∠CBD，经过等量代换∠OBD＝∠ODB，然后等角对等边OB=OD这是在矩形中折叠比较常见的“角平分线和平行线同时并存”的条件，结论就会出现“等角对等边”的等腰三角形问题（3）跟计算线段长度有关，这也是勾股定理在折叠中要发挥作用的一类题目因为AD＝BC，BC＝BE，因此在△ABO中可以设AO＝x，则BO＝OD＝8－x，因为AB＝6，即可以列勾股定理的等式：AB2＋AO2＝BO2进行计算了下面的这个题目就是用这个思路解决的大家可以尝试一下例3 已知：如图，矩形AOBC，以O为坐标原点，OB，OA分别在x轴、y轴上，点A坐标为（0,3），∠OAB＝60°,以AB为轴对折后，使C点落在D点处，求D点的坐标.例4 一个矩形纸片如图折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF1）找出图中全等的三角形，并证明2）重合部分是什么图形？证明你的结论3）连接BE，并判断四边形BEDF是什么特殊四边形，BD与EF有什么关系？并证明F132CBAEDF132CBAEDOABCDEF分析：此题的折叠不仅有前面几个问题中线段和角的对应相等，而且在折叠的过程中隐藏着EF垂直平分BD，这对于第三问中四边形形状的判断，有着重要的作用，这仍然是轴对称的性质。

利用这些条件易证明△EOD≌△BOF，则有ED＝BF，且ED∥BF，首先四边形EBFD是平行四边形，由于BD、EF互相垂直，所以就可说明四边形EBFD是菱形例5 在矩形ABDC中，把∠A沿CF折叠，点A恰好落在矩形的对称中心E处，若AB＝a，AC＝b，请你计算 的值分析：这个问题中的折叠，体现出来的看似只是一对角的相等，其实还有矩形中心对称图形的特征即点E是对角线的交点由矩形的性质可以说明AE＝DE，因为折叠可知AC＝CE，因此可得：△CAE是等边三角形，即∠ACB＝60°，进而在直角△ACB中解决两直角边的关系为：１ABCDEF总之，由于矩形本身所独有的特征，例如直角、对角线相等这些区别于普通平行四边形的特征，使得折叠在矩形中会产生奇妙的结果，只要大家用心体会，善于总结归纳，一定会从中发现很多美妙的结论！。