高考数学一轮复习 第40讲空间中的垂直关系精品 理 新人教课标A版.ppt

第第4040讲讲 空间中的垂直关系空间中的垂直关系第第4040讲空间中的垂直关系讲空间中的垂直关系. 1直线与直线垂直直线与直线垂直 定义定义:两条直线所成的角为两条直线所成的角为_，则称两直线垂，则称两直线垂直，包括两类直，包括两类:_垂直与垂直与_垂直垂直 2直线与平面垂直直线与平面垂直 (1)定义定义:如果直线如果直线l和平面和平面内的内的_都垂都垂直，就称直线直，就称直线l和平面和平面互相垂直，记作互相垂直，记作l.直线直线l叫做平叫做平面面的的_，平面，平面叫做直线叫做直线l的的_ 知识梳理异面异面相交相交90任意一条直线任意一条直线垂线垂线垂面垂面第第4040讲讲 知识梳理知识梳理.第第4040讲讲 知识梳理知识梳理(2)直线与平面垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质类别类别语言表述语言表述图形表示图形表示符号语言符号语言应用应用判定判定根据定义根据定义_证直线和平证直线和平面垂直面垂直一条直线与一个平面内的一条直线与一个平面内的_都垂直，都垂直，则该直线与此平面垂直则该直线与此平面垂直_如果两条平行直线中的如果两条平行直线中的_垂直于一个平面，垂直于一个平面，那么那么_也垂直于也垂直于同一个平面同一个平面_性质性质如果一条直线和一个平面垂如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平直，那么这条直线和这个平面内的面内的_都都垂直垂直_证两条直线证两条直线垂直垂直垂直于同一个平面的两条直垂直于同一个平面的两条直线线_证两条直线证两条直线平行平行两条相交直线两条相交直线一条一条另一条直线另一条直线任意一条直线任意一条直线平行平行.第第4040讲讲 知识梳理知识梳理 3直线与平面所成的角直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在定义：平面的一条斜线和它在平面上的平面上的_所成的所成的_，叫做这条直线和这个平面所成的角如叫做这条直线和这个平面所成的角如图图401所示，所示，PAO就是斜线就是斜线PA和平和平面面所成的角所成的角 (2)一条直线垂直于平面，则它们所成的角是一条直线垂直于平面，则它们所成的角是_；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是_的角的角 直线和平面所成的角的范围是直线和平面所成的角的范围是_射影射影锐角锐角直角直角0图图401.第第4040讲讲 知识梳理知识梳理 4二面角二面角 定义：从一条直线出发的两个定义：从一条直线出发的两个_所组成的图形所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的叫做二面角这条直线叫做二面角的_，这两个半，这两个半平面叫做二面角的平面叫做二面角的_ 如图如图402所示，在二面角所示，在二面角l的棱的棱l上任取一点上任取一点O，以点，以点O为垂足，在半平面为垂足，在半平面和和内分别作内分别作_于棱于棱l的的射线射线OA和和OB，则射线，则射线OA和和OB构成的构成的AOB叫做叫做_ 半平面半平面棱棱面面垂直垂直二面角二面角l l的平面角的平面角图图402. 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的取二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的取值范围是值范围是_，平面角是直角的二面角叫做，平面角是直角的二面角叫做_0，直二面角直二面角 5两个平面垂直两个平面垂直 (1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是_，就说这两个平面互相垂直，就说这两个平面互相垂直 直二面角直二面角第第4040讲讲 知识梳理知识梳理.类别类别语言表述语言表述图形表示图形表示符号表示符号表示应用应用判定判定根据定义，证明两根据定义，证明两平面所成的二面角平面所成的二面角是是_AOB是二面角是二面角l的平面角，且的平面角，且_，则，则证两平面证两平面垂直垂直一个平面过另一个一个平面过另一个平面的平面的_，那么这两个平面垂那么这两个平面垂直直_性质性质如果两个平面垂直，如果两个平面垂直，那么它们所成那么它们所成_是直角是直角，AOB是二面是二面角角a的平面角，的平面角，则则_证两条直证两条直线垂直线垂直两个平面垂直，则两个平面垂直，则一个平面内垂直于一个平面内垂直于_的直线垂直的直线垂直于于_证直线与证直线与平面垂直平面垂直(2)两个平面垂直的判定和性质两个平面垂直的判定和性质直二面角直二面角垂线垂线二面角的平面角二面角的平面角交线交线另一个平面另一个平面AOB90AOB90第第4040讲讲 知识梳理知识梳理.要点探究探究点探究点1垂直关系的判定垂直关系的判定第第4040讲讲 要点探究要点探究 例例1 如图如图403所示所示RtABC所在平面外一点所在平面外一点S，且，且SASBSC，D为斜边为斜边AC的中点的中点 (1)求证：求证：SD平面平面ABC； (2)若若ABBC，求证：，求证：BD平面平面SAC.图图403.第第4040讲讲 要点探究要点探究 例例1思路思路 证明线面垂直，根据判定定理可转化为证明线面垂直，根据判定定理可转化为证明线线垂直，考虑题中等腰三角形的条件，可由底边证明线线垂直，考虑题中等腰三角形的条件，可由底边上的中线和三角形中位线得到上的中线和三角形中位线得到.第第4040讲讲 要点探究要点探究 解答解答 (1)取取AB中点中点E，连接，连接SE，DE. 在在RtABC中，中，D、E分别为分别为AC、AB的中点，的中点，故故DEBC，且，且DEAB， SASB， SAB为等腰三角形，为等腰三角形， SEAB. DEAB，SEDEE， AB面面SDE. 而而SD面面SDE， ABSD. 在在SAC中，中，SASC， D为为AC的中点，的中点， SDAC. 又又 SDAB，ACABA， SD平面平面ABC. (2)若若ABBC，则，则BDAC. 由由(1)可知可知SD面面ABC，而，而BD面面ABC， SDBD. SDACD， BD平面平面SAC. 2010北京卷北京卷 如图如图404所示，正方形所示，正方形ABCD和四和四边形边形ACEF所在的平面互相垂直所在的平面互相垂直EF AC，AB ，CEEF1. (1)求证：求证：AF 平面平面BDE； (2)求证：求证：CF平面平面BDE. 第第4040讲讲 要点探究要点探究图图404.第第4040讲讲 要点探究要点探究 思路思路 (1)要证明要证明AF平面平面BDE，只需构造平行，只需构造平行四边形，证明四边形，证明AF与平面与平面BDE的一条直线平行；的一条直线平行；(2)证明证明CF平面平面BDE，可利用菱形的对角线垂直，以及由面面，可利用菱形的对角线垂直，以及由面面垂直转化线面垂直，又线线垂直，得到垂直转化线面垂直，又线线垂直，得到CF与平面与平面BDE的的两条相交直线垂直两条相交直线垂直.解答解答 (1)设设AC与与BD交于点交于点G.因为因为EFAG，且，且EF1，AG AC1.所以四边形所以四边形AGEF为平行四边形为平行四边形所以所以AFEG.因为因为EG平面平面BDE，AF 平面平面BDE，所以所以AF平面平面BDE. (2)连接连接FG. 因为因为EFCG，EFCG1，且，且CE1，所以四边形，所以四边形CEFG为菱形，为菱形， 所以所以CFEG. 因为四边形因为四边形ABCD为正方形，所以为正方形，所以BDAC. 又因为平面又因为平面ACEF平面平面ABCD， 且平面且平面ACEF平面平面ABCDAC， 所以所以BD平面平面ACEF. 所以所以CFBD. 又又BDEGG，所以，所以CF平面平面BDE.第第4040讲讲 要点探究要点探究. 例例2 2010课标全国卷课标全国卷 如图如图405所示，已知四棱所示，已知四棱锥锥PABCD的底面为等腰梯形，的底面为等腰梯形，AB CD，AC BD，垂，垂足为足为H，PH是四棱锥的高是四棱锥的高 (1)求证：平面求证：平面PAC 平面平面PBD； (2)若若AB ，APBADB60，求四棱锥，求四棱锥PABCD的体积的体积 图图405第第4040讲讲 要点探究要点探究.第第4040讲讲 要点探究要点探究. 2010山东山东卷卷 在如图在如图406所示的几何体中，四所示的几何体中，四边形边形ABCD是正方形，是正方形，MA平面平面ABCD，PDMA，E、G、F分别为分别为MB、PB、PC的中点，且的中点，且ADPD2MA. (1)求证：平面求证：平面EFG平面平面PDC； (2)求三棱锥求三棱锥PMAB与四棱锥与四棱锥PABCD的体积之比的体积之比图图406第第4040讲讲 要点探究要点探究. 思路思路 (1)利用线面垂直，得利用线面垂直，得BCPD，从而把证明，从而把证明平面平面EFG平面平面PDC，转化为证明，转化为证明BC平面平面PDC即可即可(2)通过通过ADPD2MA和正方形和正方形ABCD的性质找出题中线段之的性质找出题中线段之间关系并分别求出三棱锥间关系并分别求出三棱锥PMAB与四棱锥与四棱锥PABCD的体积，的体积，最后求比值最后求比值第第4040讲讲 要点探究要点探究.第第4040讲讲 要点探究要点探究.探究点探究点2垂直关系的性质垂直关系的性质 例例3 2010江苏卷江苏卷 如图如图407所示，四棱锥所示，四棱锥PABCD中，中，PD 平面平面ABCD，PDDCBC1，AB2，AB DC，BCD90. (1)求证：求证：PC BC； (2)求点求点A到平面到平面PBC的距离的距离 图图407第第4040讲讲 要点探究要点探究.第第4040讲讲 要点探究要点探究. 2009福建卷福建卷 如图如图408所示，平行四边形所示，平行四边形ABCD中，中，DAB60，AB2，AD4，将，将CBD沿沿BD折起到折起到EBD的位置，使平面的位置，使平面EDB 平面平面ABD. (1)求证：求证：AB DE； (2)求三棱锥求三棱锥EABD的侧面积的侧面积 图图408第第4040讲讲 要点探究要点探究.第第4040讲讲 要点探究要点探究.第第4040讲讲 要点探究要点探究.探究点探究点3垂直关系的综合应用垂直关系的综合应用 例例4 2010陕西卷陕西卷如图如图409所示，在四棱锥所示，在四棱锥PABCD中，底面中，底面ABCD是矩形，是矩形，PA平面平面ABCD，APAB2，BC2 ，E，F分别是分别是AD，PC的中点的中点 (1)求证：求证：PC平面平面BEF； (2)求平面求平面BEF与平面与平面BAP夹角的大小夹角的大小图图409第第4040讲讲 要点探究要点探究.第第4040讲讲 要点探究要点探究. 2010温州模拟温州模拟 如图如图4010所示，直角所示，直角BCD所在的平面垂直于正三角形所在的平面垂直于正三角形ABC所在的平面，所在的平面，PA 平面平面ABC，DCBC2PA，E、F分别为分别为DB、CB的中点的中点 (1)求证：求证：AE BC； (2)求直线求直线PF与平面与平面BCD所成的角所成的角 图图4010第第4040讲讲 要点探究要点探究.第第4040讲讲 要点探究要点探究.第第4040讲讲 要点探究要点探究.第第4040讲讲 规律总结规律总结规律总结 1两直线垂直包括相交垂直和异面垂直两种情况，而后者两直线垂直包括相交垂直和异面垂直两种情况，而后者常被人忽略；线面垂直是线面相交的一种特殊情形，面面垂直常被人忽略；线面垂直是线面相交的一种特殊情形，面面垂直是面面相交的一种特殊情形，而这两类垂直常被误以为是线面是面面相交的一种特殊情形，而这两类垂直常被误以为是线面(或面面或面面)位置关系中的一种位置关系中的一种 2线面垂直判定定理可以简单地记为线面垂直判定定理可以简单地记为“线线垂直线线垂直线面垂线面垂直直”，是证明线面垂直的常用方法，证明线面垂直的方法有：，是证明线面垂直的常用方法，证明线面垂直的方法有：线面垂直的定义；线面垂直的定义；线面垂直的判定定理；线面垂直的判定定理；两条互相平行两条互相平行的直线的性质的直线的性质.第第4040讲讲 规律总结规律总结 3证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也证明两个平面。