带非卷积核的分数次振荡积分算子及其交换子的加权有界性质——献给陆善镇教授75华诞.pdf

傅尊伟等：带非卷积核的分数次振荡积分算子及其交换子的加权有界性质 IVx ( ) l +I ( ) l ≤ 而， ( 1 ．2 ) 算子 最早由 R i c c i 和 S t e i n I l l }引进． R i c c i 和 S t e i n[ 1 1 ] 得到了算子 的 L P ( ]R n )( 10 ， 当 n ( 去 一 去 1) 时， 算子 在 L P ( R )中有界， 其中算子范数与多项式 P( x ， Y ) 的系数有关 ． 尽管文献 [1 1 ] 中没有给出定理 A的详细证明， 但其证明中对算子的低频估计方法与奇异积分算 子有所不同． 1 9 9 6年， Di n g_ l 2 ] 证明了带粗糙核的算子 在 L P ( R n )( 11 ／ ( 1 一 ) ， 则 ， 在 L 2 ( Rn )中有界 ( 2 ) 如果 l1 ／ ( 1 一 ) ， 则 ， 在 L P ( R ) 中有界， 其中算子范数与多项式 P ( ， ) 的系数有关． 上述结果是定理 A 的非平凡推广． D i n g[ 1 3 J 进一步得到了定理 B的加权结果 ，其中权属于 Mu c k — e n h 。

u p t函数类． Mu c k e n h o u p t 权函数类 A p和 ( p，g ) [ 1 4 ] 分别由满足下面条件的函数 叫组成： 1 p -- ) ≤ ，10时可 以被 厶 控制， 因此， 可 以借助对算子 厶 的研究 问接得到算子 的一些性质． 例如， 当用 W∈A( ) 代 替 W∈Ap时， 算子 有如下 ( p ， a ) 加权 估计： 定理 1 ． 2 设 ， P( x ， Y )同定理 1 ． 1 ， 则对任意 W ∈ q ) ， 00满足 ， 『lL ( a ) ≤Cll f II L ( ) 对分数次积分算子来说， ( ， L )型有界估计是常见的． 而要建立其 有界性质， 需要更强的假 设条件． 例如， 定理 1 ． 1中， 由 { ( + ) ， ( 去 + ) ) 0 ， 贝 0 ㈨d 1 ≤ su p + 其中 ( t ) ：t n + 2 t n ： +⋯ + t ， 2 ⋯ ． ， 为实参数， 0 1 ， a 2 ⋯ ． ， n 为互不相同的正数． 引理 2 ．4[1 4 ] 设 00满足 4 60 厶， llL ( ) ≤VIIf ilL ( ) 弓 I 理 2 ． 5 【 】 假设 00使得 + ∈A p ； ( 2 ) 如果 W∈A ( ) ， 则存在 E>0使得 W + ∈A( p ， q ) ． 下面的变测度插值定理也是证明定理 1 ． 1的重要工具． 引理 2 ． 7[ 2 0 ] 设 0 ， u o ， 乱 1和 “ 1为权函数， 1 1 ) ( ， Y ) =： ，0 + ，。

， 所以， 1n ， ( ) =e i P ( x , y ) ， (， ) ， ( ) d +e iP ( x ,y ) 玩 ， ， ) ．， ( ) d =： ， ， ( ) + ， ．， ( ) ． 下面分别估计 ，0 和 ，o ． 首先考虑 ，0 ． 由 ( 1 ．1 ) 和 le iP ( ) I =1 ， 易得 l ， ， ( z ) I ≤ 一 ，i = 二 d ． 因为 00和 0≤ 0 ． 又因为 Q ( 2 z ) = 2 ∑ a ／3 7 + 次 数比z 低 的 项 ， I I =f 所 以， ．／ l ( ≤ 2 2 2 ( ≤ (JQ 2 一 Q 2J y )1) 由引理 2 ． 2 ， 可得 s u p．／ I ( (1+ ， 其中取 害 ) d z d 1 0 ， 存在 叼>0使得 当 IIb lIB M O ( R n 1 0 ， 存在 叼>0使 得 当 I] b I[B MO ( N 、 0 ， 00使得 II f il l ( ) ≤vii f il L ( ) ， 其中 0使得 f ill ( ) ≤Cllf llL ( ) 定理 3 ． 1的证明 我们采用归纳法证明定理 3 ． 1 ．与文献 [2 3 ， 2 8 】 类似， 仅需证明 ( 2 ) ． 首先考虑 m=1 ．由定理 1 ．1可得， 当 1 0使得 W + ∈A p ， 所 以， JIT ~ f lIL ( + e ) ≤CIIf llL ( + ) ． ( 3 ． 1 ) ( 3 ． 2 ) 令 =p ( 1 + ) ／ E ， 由引理 3 ．1 ( 1 ) 可知， 存在 叩>0 使得当 lIb lIB M O0使得对任意 f∈L V ( w + ) ， ll r』 f il l ( w l + e ) ≤C IIf IIL ( + e ) ． ( 3 ． 6 ) ( 3 ． 7 ) 取 =p ( 1 +￡ ) ／ E ， 由引理 3 ． 1 ( 1 )易得， 存在 叩>0 ， 使得 当 IIb lIB M o ( ~ )

目 ／ ∈ A p． 因此， 由 ( 3 ．6 ) 可得对任意 0∈[0 ， 2 7 r ] ， f∈L p ( e p ( + ) ／ ) ， 有 IIT 2 b f I LL ( e P b ( + ) ⋯e ／ ) ≤c IIf llL ( ( + ) ⋯ ／ ) ． 应用引理 2 ． 7于 ( 3 ． 7 ) 和 ( 3 ． 8 ) ， 可得 lI f il l ( ⋯ ) ≤CIIf llL w e P b c o s 0 ) ． 对于 日 ( ) =f ( x ) e (z ) e ， 0 ∈[0 ， 2 7 r ] ， h 自 ∈L p ( W e p b c o s O ) ， 显然有 lIh o llL ( w e P b co s 0 ) =IIf lIL ( ) ． 现在回到对 的估计． 为了分析方便， 记 K ， 一1 ( ， ) =e i P ( ， ) ( ， ) ( 6 ( ) 一6 ( ) ) m -- 1 ) ( { 2 ， - 1 < I 一 i< 2 j ) ( ， ) ． 由 ( 3 ． 1 )可得 ) ： ．／ 一( )(6( 6 ( ) = 2丌 瞄 ( ( ( 3 ． 8 ) ( 3 ． 9 ) f 3 ． 1 0 ) 中国科学 ： 数学第 4 4卷第 5期 同时由 ( 3 ．9 ) 和 ( 3 ． 1 0 ) 可得 定理得证． 定理 3 ． 2 类似， 仅需用 理 3 ． 2 ． 定 理得 证 参考文献 f f JL ( ) ≤CIIf llL ( ) 口 的证明 由 A p和 ( p ，q ) 在引理 2 ． 6和 3 ． 1中的相似性质， 定理 3 ． 2和 3 ． 1的证明完全 ( p l q ) 代替 A ．当然， 与定理 1 ． 2的证明类似， 也可由7 1 理 3 ． 2和下面的式子直接得到定 ) l ≤ ．／ t厂 ( )(6 ( ) 一 6 ( )) ： 珐 6 (If 1)(x ) 口 1 S t e i n E M． Ha r mo n i c A n a l y s i s ( R e a l— V a r i a b l e Me t h o d s ， Or t h o g o n a l i t y ， a n d Os c i l l a t o r y I n t e g r a l s ) ． P r i n c e t o n ： P r i n c e t o n Uni v er s i t y Pr e s s ，1 99 3 Bo ur g ai n J． Fo ur i e r t r a n s f or m r e s t r i c t i o n ph e no m e na f o r c e r t a i n l a t t i c e s ub s e t s a nd a pp l i c a t i o n s t o no nl i n e a r e v o l u t i o n e q ua t i o ns ，I ； I I ．Ge om FUn c t An al ，1 9 93 ，3：1 07 —1 56 ；2 09 2 6 2 Lu S Z．Zha ng Y．Cr i t e r i o n o n Lp — bo und e dn e s s f o r a c l a s s of os c i l l a t or y s i ng ul ar i n t e g r a l s wi t h r o ug h k e r ne l s ．Re v M a t I be r o a m ．1 9 9 2．8 ：2 01 —2 1 9 Lu S Z． A c l as s of o s c i l l a t o r y s i ng ul a r i n t e gr a l s ．I n t J Ap pl M a t h． 20 0 5．2 ：4 7 64 Ph on g D H ，St e i n E M ．Hi l be r t i n t e g r a l s ，s i ng ul a r i n t e g r al s an d Ra do n t r a ns f o r m s I ．Ac t a M a t h，1 98 6 ，1 5 7 ：9 9 —1 5 7 S a t o S ． We i g h t e d w e a k t y p e( 1 ， 1 ) e s t i ma t e s f o r o s c i l l a t o r y s i n g u l a r i n t e g r a l s ． S t u d i a Ma t h ， 2 0 0 0 ， 1 4 1 ： 1 — 2 4 W u H X．On mul t i l i ne ar o s c i l l a t or y s i ng ul a r i n t e g r a l s wi t h r o ug h ke r n e l s ．J M a t h Ana l Ap pl ，2 0 0 4，2 9 6：27 9 ～ 2 94 Co i f m a n R R．M e ye r Y．Au De l A de s O p 6 r at e u r s Ps e u do — Di fi r 6 nt i e l s ．Par i s ：S oc i 6 t 6 M a t h6 m a t i qu e de Fr an c e ．1 97 8 Ke ni g C E，Po nc e G ，Ve g a L．Os c i l l a t or y i n t e g r a l s a nd r e gu l a r i t y o f di s p e r s i v e e qua t i ons ．I nd i a na Un。