
幂函数性质、例题以及课后题.docx
6页幂函数性质、例题以及课后题 幂函数 分数指数幂正分数指数幂的意义是:〔,、,且〕 负分数指数幂的意义是:〔,、,且〕 幂函数的图像与性质 幂函数随着的不同,定义域、值域都会发生改变,可以采纳按性质和图像分类记忆的方法.娴熟驾驭,当的图像和性质,列表如下. 从中可以归纳出以下结论:它们都过点,除原点外,任何幂函数图像与坐标轴都不相交,任何幂函数图像都不过第四象限.时,幂函数图像过原点且在上是增函数. 时,幂函数图像不过原点且在上是减函数. 任何两个幂函数最多有三个公共点.奇函数 偶函数非奇非偶函数幂函数根本性质〔1〕全部的幂函数在〔0,+∞〕都有定义,并且图象都过点〔1,1〕; 〔2〕α>0时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞]上,是增函数 〔3〕α<0时,幂函数的图象在区间〔0,+∞〕上是减函数. 规律总结 1.在探究幂函数的性质时,通常将分式指数幂化为根式形式,负整指数幂化为分式形式再去进展探讨; 2.对于幂函数y=,我们首先应当分析函数的定义域、值域和奇偶性,由此确定图象 的位置,即所在象限,其次确定曲线的类型,即<0,0<<1和>1三种状况下曲线的根本形态,还要留意=0,±1三个曲线的形态;对于幂函数在第一象限的图象的大致状况可以用口诀来记忆:“正抛负双,大竖小横”,即>0〔≠1〕时图象是抛物线型;<0时图象是双曲线型;>1时图象是竖直抛物线型;0<<1时图象是横卧抛物线型.幂函数的应用 幂函数〔、,且、互质〕的图象在第一,二象限,且不经过原点,那么有 〔 〕 、为奇数且 为偶数,为奇数,且 为偶数,为奇数,且 奇数,为偶数,且右图为幂函数在第一象限的图像,那么的大小关系是 〔 〕 解:取, 由图像可知:, ,应选.比拟以下各组数的大小: 〔1〕,,; 〔2〕,,; 〔3〕,,. 解:〔1〕底数不同,指数一样的数比大小,可以转化为同一幂函数,不同函数值的大小问题. ∵在上单调递增,且, ∴.〔2〕底数均为负数,可以将其转化为,,. ∵在上单调递增,且, ∴,即, ∴.〔3〕先将指数统一,底数化成正数. ,,.∵在上单调递减,且, ∴, 即:. 点评:比拟幂形式的两个数的大小,一般的思路是: 〔1〕假设能化为同指数,那么用幂函数的单调性; 〔2〕假设能化为同底数,那么用指数函数的单调性; 〔3〕假设既不能化为同指数,也不能化为同底数,那么需找寻一个恰当的数作为桥梁来比拟大小. 假设,求实数的取值范围. 分析:假设,那么有三种状况,或. 解:依据幂函数的性质,有三种可能:或或, 解得:.例3.确定幂函数〔〕的图象与轴、轴都无交点,且关于原点对称,求的值. 解:∵幂函数〔〕的图象与轴、轴都无交点, ∴,∴;∵,∴,又函数图象关于原点对称, ∴是奇数,∴或.例4、设函数f〔x〕=x3, 〔1〕求它的反函数; 〔2〕分别求出f-1〔x〕=f〔x〕,f-1〔x〕>f〔x〕,f-1〔x〕<f〔x〕的实数x的范围. 解析:〔1〕由y=x3两边同时开三次方得x=,∴f-1〔x〕=x. 〔2〕∵函数f〔x〕=x3和f-1〔x〕=x的图象都经过点〔0,0〕和〔1,1〕. ∴f-1〔x〕=f〔x〕时,x=±1及0; 在同一个坐标系中画出两个函数图象,由图可知 f-1〔x〕>f〔x〕时,x<-1或0<x<1; f-1〔x〕<f〔x〕时,x>1或-1<x<0. 点评:此题在确定x的范围时,采纳了数形结合的方法,假设采纳解不等式或方程那么较为麻烦. 例5、求函数y=+2x+4〔x≥-32〕值域. 解析:设t=x,∵x≥-32,∴t≥-2,那么y=t2+2t+4=〔t+1〕2+3. 当t=-1时,ymin=3. ∴函数y=+2x+4〔x≥-32〕的值域为[3,+〕. 点评:这是复合函数求值域的问题,应用换元法. 【同步练习】 1. 以下函数中不是幂函数的是〔 〕 A. B. C. D. 答案:C2. 以下函数在上为减函数的是〔 〕 A. B. C. D. 答案:B3. 以下幂函数中定义域为的是〔 〕 A. B. C. D. 答案:D4.函数y=〔x2-2x〕的定义域是〔 〕 A.{x|x≠0或x≠2} B.〔-∞,0〕〔2,+∞〕 C.〔-∞,0〕][2,+∞] D.〔0,2〕 解析:函数可化为根式形式,即可得定义域. 答案:B 5.函数y=〔1-x2〕的值域是〔 〕 A.[0,+∞] B.〔0,1〕 C.〔0,1〕 D.[0,1] 解析:这是复合函数求值域问题,利用换元法,令t=1-x2,那么y=. ∵-1≤x≤1,∴0≤t≤1,∴0≤y≤1. 答案:D6.函数y=的单调递减区间为〔 〕 A.〔-∞,1〕 B.〔-∞,0〕 C.[0,+∞] D.〔-∞,+∞〕 解析:函数y=是偶函数,且在[0,+∞〕上单调递增,由对称性可知选B. 答案:B 7.假设a<a,那么a的取值范围是〔 〕 A.a≥1 B.a>0 C.1>a>0 D.1≥a≥0 解析:运用指数函数的性质,选C. 答案:C 8.函数y=的定义域是 。
解析:由〔15+2x-x2〕3≥0.∴15+2x-x<20.∴-3≤x≤5. 答案:A 9.函数y=在其次象限内单调递增,那么m的最大负整数是________. 解析:m的取值应当使函数为偶函数.故m=-1. 答案:m=-110、探讨函数y=的定义域、值域、奇偶性、单调性,并画出图象的示意图. 思路:函数y=是幂函数. 〔1〕要使y==有意义,x可以取随意实数,故函数定义域为R. 〔2〕∵xR,∴x2≥0.∴y≥0. 〔3〕f〔-x〕===f〔x〕, ∴函数y=是偶函数; 〔4〕∵n=>0, ∴幂函数y=在[0,+]上单调递增. 由于幂函数y=是偶函数, ∴幂函数y=在〔-,0〕上单调递减. 〔5〕其图象如下列图所示. 12.确定函数y=. 〔1〕求函数的定义域、值域; 〔2〕判定函数的奇偶性; 〔3〕求函数的单调区间. 解析:这是复合函数问题,利用换元法令t=15-2x-x2,那么y=, 〔1〕由15-2x-x2≥0得函数的定义域为[-5,3], ∴t=16-〔x-1〕2[0,16].∴函数的值域为[0,2]. 〔2〕∵函数的定义域为[-5,3]且关于原点不对称,∴函数既不是奇函数也不是偶函数. 〔3〕∵函数的定义域为[-5,3],对称轴为x=1, ∴x[-5,1]时,t随x的增大而增大;x〔1,3〕时,t随x的增大而减小. 又∵函数y=在t[0,16]时,y随t的增大而增大, ∴函数y=的单调增区间为[-5,1],单调减区间为〔1,3]. 答案:〔1〕定义域为[-5,3],值域为[0,2]; 〔2〕函数即不是奇函数,也不是偶函数; 〔3〕〔1,3]. 本文来源:网络收集与整理,如有侵权,请联系作者删除,谢谢!第6页 共6页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页。












