湖南省2015届高三月考（二）数学（理）试题 Word版含答案.doc

BO XyA11S=0, i=1开始S=S+i2i=i+1i>4?是否输出 S结束炎德英才大联考·长沙一中 2015 届高三月考试卷（二）数学（理科）一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 5 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1、已知集合 M= ，N= ，则 = （ ）A31xy22logxyxMNA、 B、,32 1,,32C、 D、0, ,0,2、命题：“ ，使 ”的否定是（ ）DxR2410xA、 ， Ｂ、 ，xR2410xC、 ， D、 ，3、若实数 满足： ，则 的最大值为（ ）D,xy0yx2zxyA、0 B、1 C、 D、2【解析】如图，画出满足条件的可行域，当目标函数所对应的直线过点 时， ，则 的最大值为 2。

,1maxzzxy（或者通过比较可行域各顶点所对应的目标函数值的大小可得答案 2 ）4、已知向量 ， ，且 ∥ ，则锐角 =（ ）B,cos1cos,babA、 B、 C、 D、30 45 60 75【解析】∵ ∥ ，∴ ，即 ，a1221sin又∵ 为锐角，所以 ， 故选 B2sin5、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）CA、 14 　　　　 B、20　　　 　 C、30 　　 　　 D、55【解析】根据框图，可得 故选 C221340S6、已知 ，且 ，则下列不等式正确的是（ ）C0abA、 B、2log122loglabC、 D、01【解析】根据 ，且 ，可得 ，ab012aA BCD所以① ，A 错；② ，D 错；2log10a2ba2log1ba③ ，B 错。

故214b 2lll选 C7、已知数列 满足： ， （ ） ， ，当 时， 的na12a21nna41a0值为（ ）CA、 0 B．1 C、0 或 1 D、 【解析】∵ ， ， ， ，所以2nn12，321aa，由题设知 ，所以 ，或 4324aa0无论 ，还是 ，都有 成立，于是 03n107418、将 5 名同学分到甲、乙、丙三个小组，若甲组至少两人，乙、丙两组每组至少一人，则不同的分配方案共有（ ）种 AA、 80 种 B、120 种 C、140 种 D、50 种【解析】①甲组有 3 人时，乙、丙两组每组 1 人，有 种；② 甲组有 2 人时，325A乙、丙两组中有一组 2 人，另一组 1 人，有 种一共有 80 种不同的分配方25360案，选 A9、正方形 ABCD 的边长为 a，依次连结正方形各边中点得到一个新正方形，再依次连结新正方形各边中点又得到一个新正方形，……，依次得到一系列的正方形，如图所示。

现有一只小虫从 A 点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个新正方形的边逆时针爬行，如此下去，爬行了 10 条线段则这 10 条线段长度的平方和为（ ）AA、 B、 210348a2103768aC、 D、54910、已知函数 ，函数 （2sin3cosfxxcos236gxmx） ，若0m1，总 ，使得 成立，则实数 m 的取值范围为（ ）B,420,412gfA、 B、 C、 D、, 4,33,22,3【解析】因为 ，当 时，2sincosfxxsin23x0,4x；1,2fx而当 时， ， ，0,4x2,63x1cos2,6x又 ，所以 ；mcosgm3,m要使条件满足，必须且只需使 ，即 ，解得 。

3,21,22143m请将各小题唯一正确答案的代号填入下表的相应位置：题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答 案二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上 ）11、已知复数 满足 （其中 i 为虚数单位） ，则 = ；z12iz1i12、在 的展开式中， 项的系数为 ，则实数 a 的值为 261ax3x16；2 或 313、向平面区域 内随机投掷一点，则该点落在曲线,,04yy下方的概率为 ；cosyx214、已知 O 是 △ABC 所在平面内一点，且满足 ，若2OBCOA， ，2AB3C则△ABC 的外接圆的面积为 ； 7415、设 是 R 上的偶函数，且当 时， ；函数fx0x12xf2ln1g则：（1）函数 的零点个数为 ；2（2 ）若实数 a 是函数 的正零点，则 与 的大小关系为 gxffa。

<f【解析】 （1）作图可知函数 的零点个数为 2 个；其一在 上，另一在 上,01,2（∵ ） ，由题设知 ；2lnl30g1,a对 ，在 时，直接求导得 ；易知当 时，fxln2xf＇ x，2ln10fx＇所以函数 在 上单调递增，从而 成立f,2faf又函数为偶函数，故 < fa2三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16、 （ 本小题满分 12 分）已知 A、 B、 C 为△ABC 的三内角，且其对边分别为 a、 b、 c，若= ， = ，且 mcos,inBCcos,in12m（Ⅰ）求 A；（Ⅱ）若 ，三角形的面积 ，求 的值23a3Sbc【解析】 （Ⅰ）依题设， ，cssinmBC即 ，亦即 ，1cos21oos2A所以 ；又 ，故 A0,3…………………6 分（Ⅱ）由题设及（Ⅰ）的结果， ，∴ ；12sinsi324SbcAcbc4c又由余弦定理，可得 ，2 2oa于是 ，故 。

2 46bcc…………………12 分17、 （ 本小题满分 12 分）国家统计局对某门户网站的访问量与广告收益进行统计评估，从该网站近三年中随机抽取 100 天，访问量的统计结果（单位：万次）如表所示：访问量 500 600 700频 数 50 30 20（Ⅰ）根据上表的统计结果，求访问量分别为 500 万次，600 万次，700 万次的频率；（Ⅱ）已知每 100 万次的访问量能使该网站获得广告收益 5 万元，用 表示该网站两天的广告收益（单位：万元） ，假设每天的访问量相互独立，求 的分布列和数学期望解析】 （Ⅰ）依题设，访问量分别为 500 万次，600 万次，700 万次的频率分别为， ，50.130. 2………………………4 分（Ⅱ）由题设知访问量分别为 500 万次，600 万次，700 万次的广告收益是 25 万元，30 万元，35 万元，相应的， 的允许值为 50，,55,60,65,70. ………………………5 分并且由题设中“每天的访问量相互独立”可知： ，250.5P，520.3.P， ，650296.3.1。

7.4于是，所求随机变量 的分布列为：50 55 60 65 70P0.25 0.3 0.29 0.12 0.04…………………11 分其期望 （万元） 50.20.36.2950.17.4E5…………………12 分18、 （ 本小题满分 12 分）已知正项数列 的前 n 项和为 ，满足 ，anS1a（ ） 231nnSa2（Ⅰ）求证数列 为等差数列，并求出其通项公式；（Ⅱ）对于数列 ，在每两个 与 之间都插入 （ ）个 2，使数列nk1kN变成一个新数列 ，数列 的前 m 项和为 ，若 ，求 m 的最小值nmttT014m【解析】 （Ⅰ）由已知，当 时， ，即 ，2311nnnSSa31nnSa∴ ， ，两式相减得 ，于是21nnSa11nSa2（ ） ；又由 ， ，可得 ，所以 ；12312221a因此，数列 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，其通项公式为 n na…………6 分（Ⅱ）数列 中， （含 项）前的所有项之和为mtkak，1121212kk  23k当 时，其和为 ；当 时，其和为36k369047；2705214又因为 ，故恰好在 时开始满足 。

9836723k2014mT∴ ……………………12 分min3019、 （ 本小题满分 13 分）今年暑假期间有一个自驾游车队，组织车友前往青海游玩该车队是由 31 辆车身长都约为 5m（以 5m 计算）的同一车型组成的，行程中经过一个长为2725m 的隧道（通过该隧道的速度不能超过 20m/s） ，匀速通过该隧道，设车队速度为m/s，根据安全和车流的需要，当 时，相邻两车之间保持 20m 的距离，当x012x时，相邻两车之间保持 m 的距离自第 1 辆车车头进入隧道至第120x2163x31 辆车车尾离开隧道所用的时间为 （s） y（Ⅰ）将 表示成 的函数；yx（Ⅱ）求该车队通过隧道时间 的最小值及此时车队的速度解析】 （Ⅰ）当 时， ； 012751203480xx……………………2 分当 时，10x22351086yxx；285……………………4 分∴所求函数解析式为 380,125,0xyx………………………6 分（Ⅱ）当 时，由于函数单调递减，所以在 m/s 时，012x12x（s） ；………8 分min349y当 时， （s） ，12x08051255yxx其中等号当且仅当 即 时成立。

4但 ，且当 时， ，241,0120x22。