北京市东城区示范校2014届高三12月教学质量调研数学（文）试题含答案.doc

北京市东城区普通高中示范校 2014 届高三 12 月教学质量调研数学试卷（文科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共 150 分考试时长 120 分钟第Ⅰ卷（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合 ，集合 ，则集合 A∩B＝{1,02}A{0,246}BA. {1，2，4} B. {2，4} C. {0，2} D. {－1，0，1，2，4，6}2. 若向量 a＝（1，2），b＝（2，1），c＝（－5，－1），则 c＋a－2b＝A. （－8，－1） B. （8，1 ） C. （0，3） D. （0，－3）3. 抛物线 的焦点坐标为24yxA. （0，2） B. （2，0 ） C. （0，1） D. （1，0）4. 下列命题：① ；② ；③ ；④“ ”的充要条件是“,Rx2,Rx4321x且 ”中，其中正确命题的个数是1xA. 0 B. 1 C. 2 D. 35. 已知 ，则4,cos()25xtanxA. B. C. D. 74772476. 如图，是一个简单空间几何体的三视图，其主视图与左视图都是边长为 2 的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则其全面积是A. 12 B. C. D. 4343837. 函数 的图象大致是()ln|1|fx8. 在圆 内，过点 作 n 条弦 ，它们的长构成等差数列 ，若250xy35(,)2()N{}na为过该点最短的弦， 为过该点最长的弦，且公差 ，则 n 的值为1ana1,53dA. 4 B. 5 C. 6 D. 7第Ⅱ卷（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。

9. 若曲线 在原点处的切线方程是 ，则实数 a＝__________3yxa20xy10. 已知 是等比数列， ，则公比 q＝_________{}n251,4a11. 已知 x、y 满足约束条件 则 的最小值为_________0,1xy2zxy12. 某算法的程序框如图所示，则输出量 y 与输入量 x 满足的关系是_________13. 在△ABC 中，∠A＝ ，BC ＝3， ，则∠B ＝_________6A14. 函数 则不等式 的解集是_________2,0()4cos,2xf ()2fx三、解答题：本大题共 6 小题，共计 80 分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤15. （本题满分 12 分）设函数 )2sincos(2)6fxx（Ⅰ）设函数 的最小正周期；（Ⅱ）当 时，求函数 的最大值及取得最大值时的 x 的值[0,]3x()fx16. （本小题满分 14 分）如图，矩形 ABCD 中，AD⊥平面 ABE， ，F 为 CE 上的点，且 BF⊥平面2AEBCACEⅠ）求证：AE⊥平面 BCE；（Ⅱ）求证：AE∥平面 BFD；（Ⅲ）求三棱锥 的体积。

CBGF17. （本小题共 12 分）关于 x 的方程 22(1)||0xk（Ⅰ）当 时，写出方程的所有实数解；0k（Ⅱ）求实数 k 的范围，使得方程恰有 8 个不同的实数解18. （本小题共 14 分）已知函数 是常数)ln1,fxaR（Ⅰ）求函数 的图象在点 处的切线 的方程；yf(,1)Pfl（Ⅱ）证明：函数 的图象在直线 的下方；()x（Ⅲ）若函数 有零点，求实数 a 的取值范围f19. （本题满分 14 分）已知椭圆 的左右焦点分别为 在椭圆 M 中有一21:(0)xyMab12(,0)(,F内接三角形 ABC，其顶点 C 的坐标为 ，AB 所在直线的斜率为 3,13（Ⅰ）求椭圆 M 的方程；（Ⅱ）当△ABC 的面积最大时，求直线 AB 的方程20. （本题满分 14 分）已知数列 是等差数列， ；数列 的前 n 项和是 ，且 {}na256,18a{}bnT12nb（Ⅰ）求数列 的通项公式；（Ⅱ）求证：数列 是等比数列；nb（Ⅲ）记 ，求 的前 n 项和 nca{}cnS参考答案一、选择题：1. C 2. A 3. D 4. D 5. D 6. A 7. B 8. B二、填空题：9. 2 　　　　　　　　　　　10. 　　　11. －31212. 　　　　　　　13. 75° 　14. ∪,1xy (,2)0,3三、解答题：15. （共 12 分）（Ⅰ）因为 ()2sincos(2)6fxxsincoi64 分13i2sxx， 6 分sin()所以 。

i(2)3fx函数 的最小正周期为 7 分)（Ⅱ）因为 ，所以 [0,]x,3x所以，当 ，即 时 10 分23512函数 的最大值为 1 12 分()fx16. （共 14 分）（Ⅰ）证明：∵AD⊥平面 ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面 ABE，则 AE⊥BC，又∵BF ⊥平面 ACE，则 AE⊥BF，∴AE⊥平面 BCE 4 分（Ⅱ）证明：依题意可知：G 是 AC 中点，∵BF⊥ 平面 ACE，则 CE⊥BF，而 BC＝BE ，∴F 是 EC 中点， 6 分在△AEC 中，FG∥AE，∴AE∥平面 BFD 8 分（Ⅲ）解：∵AE∥平面 BFD，∴AE∥FG ，而 AE⊥平面 BCE，∴FG⊥平面 BCE，∴FG⊥平面 BCF， 10 分∵G 是 AC 的中点，∴F 是 CE 的中点，∴FG∥AE 且 ，12FGAE∵BF⊥ 平面 ACE，∴BF ⊥CE∴在 Rt△BCE 中， ，BC， 12 分12CFBS 14 分133GCFFBVSG17. （共 12 分）（Ⅰ）据题意可令 ①，2||(0)xt则方程化为 ②，2tk时 或0k16 分,,xx（Ⅱ）当方程②有两个不等正根时，，得 9 分120,,t14k此时方程②有两个根且均小于 1 大于 0，故相应的满足方程的解有 8 个，即原方程的解有 8 个，所以 。

12 分104k18. （共 14 分）（Ⅰ） ， 2 分()fxa，所以切线 的方程为1,(1)lkf l，即 4 分()yf )yx（Ⅱ）令 则ln1,0Fxfa，解 得 1()() ()F（0，1） 1 (1,)()x＋ 0 －F↗ 最大值 ↘，所以 且 ，(1)001,()0,()1xFfxa即函数 的图象在直线 的下方 9 分()yfxl（Ⅲ） 有零点，即 有解， )nf ln1x令 ，22ln1l1(l1)l(),()xxxgg解 得 12 分0则 在（0，1）上单调递增，在 上单调递减，()x(,)当 时， 的最大值为 ，()g1g所以 14 分a19. （共 14 分）（Ⅰ）由椭圆的定义知 222(3)1(3)1a解得 ，所以 26abc所以椭圆 M 的方程为 5 分2xy（Ⅱ）由题意设直线 AB 的方程为 ，3yxm由 得 7 分21,63,xym22360x因为直线 AB 与椭圆 M 交于不同的两点 A，B ，且点 C 不在直线 AB 上，所以 解得 ，且 。

9 分2214()0,3.m2m0设 A，B 两点的坐标分别为 ，12(,),xy则 2121 1223633,,,xmxyxm所以 22 21112124|()()[()4]xy点 到直线 的距离 11 分(3,)C33|d于是△ABC 的面积 ，2221 (4)||432mSAB当且仅当 ，即 时“＝”成立4m所以 时△ABC 的面积最大，此时直线 AB 的方程为  23yx即为 14 分360xy20. （共 14 分）（Ⅰ）设 的公差为 d，则： ，{}na2151,4ada2 分125 16,6,8, 2,4.48adaad 4 分4()2nn（Ⅱ）当 时， ，由 ，得 5 分11bT1b13当 时， ，2n11,22nnn，即 7 分11()nnTb1()nnb 8 分13n是以 为首项， 为公比的等比数列{}nb23（Ⅲ）由（Ⅱ）可知： 10 分12()()3nnnb 11 分(4)843nnnca121nSc114()()(2)()(3 3nn。

23 1884)n  23 1114()()(()3nnnS  211()[()]4388)(3n1()4)(3nn 14 分413nS。