狄拉克场和费米子.doc

§3.4 狄拉克场和费米子1. 经典场狄拉克场的拉格朗日密度为：（1）)()(xmixL正则坐标为 ，相应的正则动量为：)(x（2）)()(xix由于 中不含有 的导数，所以 不是正则坐标L狄拉克场的能量，动量，守恒荷（3）xdmixH3)()(（4）p（5）xQ3)(2.量子化把 与 看作算符，满足一定的对易关系)(x)(xi与克莱因-戈登场不同，克莱因 -戈登场描述的是自旋为零的玻色子，而狄拉克场描述的是自旋为 的费米子，遵从泡利不相容原理，即同一个量子态只允许有一个粒子如果将21与 的对易关系取成与克莱因-戈登场相同的形式，即)(x（6）')'(,xix则将有态 存在，即 n 个具有相同能量与动量的费米子处于同一量子态，这是不0)(kan允许的因此狄拉克场的量子化不能按照（6）式进行，而应另想办法该办法就是将与 取成如下对易关系)(x',',3xtxt ， （7）0'x 0,',tt与（6）式的差别仅在于将对易子 换成反对易子 这BA, BA差别是唯一的，也是基本的和十分重要的。

由此引出的值次是大不相同的由于（3）式的场能量算符包含两个 3 费米算符的乘积，相当于一个玻色算符，故算符运动方程保持不变，即：， （8）,Hi,i将 H 的表达式（3）代入上式得：  txmixditx '3 )(,'')'(', 利用公式： ACBABC,,,则上式可以写成：  )(,'')'(',3 xmixditx   t'(','txixxi '3 )''' 因此得： tmiti ,,亦即：（9）0i这就是人们熟知的狄拉克方程，它现在是算符运动方程3.一般解由第一章的讨论我们知道，狄拉克方程（9）有正能解与负能解， ， （10）XiPexpEt2m其一般解由其叠加而成，即（11） sp ipxXiPsp ipxi esdespucVEmx ,,,,)( ,,, 式中， 是能量为 E，动量为 ，自旋为 s 的旋量波函数， 是能量为-E，动量spu, ,为- ，自旋为 s 的波函数。

， ， ， 是展开系数，是算符sc,p,d,sp利用 ， 的正交归一化关系pu,,''smEs '',smEps（12）0',,',  spusp以及平面波的正交归一化关系： ',3'1pVxpide由（11）式可以推出（13） xdspeVEmspdxxdspuespcEmiipixipx33,, ,, ,,,, 例如，将 的展开式（11）代入（13）式第一式得：)(x', '3 ,'','sp XiPipx espucVEuedVExie',''', ',',','sp psupscm ptieud ,2',,'' 2',,',',',s tiesusdsppcE pccss,',' '4．动量、自旋函数算符由此可见，量子化的狄拉克场，既可以用时空函数算符 ， 描述，亦可用动)(x)(量，自旋函数算符 ， ， 及 描述它们之间由（ 11）与spc,s,pd,s,（13）式相联系。

时空函数算符 ， 满足对易关系（ 7）式，由该对易关系，我)(x)(们可以得到动量函数算符 ， ， ， 满足如下对易关系：sc,s,,spd,（14）'','',',, spsdpc其余算符都反对易例如由（13）式得：  ,,',, 3xdtspueVEmspcix'',,'' 3'texip txtspudEVmxpi ,',',,'' '3   '',,'' 3'3expi ',,''3spudEVmxpi ',',' psu'',sp又： ,,',, 3xdtueVEmspdcipx'',,'' 3' sptxip  txtuedEVmxpi ,',',,'' '3   '',,'' 3'3 spxpi ',,''3uedEVmxpi ',,','', spEmspup =0将（11）式代入狄拉克场的能量，动量，守恒荷表达式（3） ， （4） ， （5）表达式得：（15）spssp spdscQpsscEH,,, ,,, 1,,,例如： xmixH3)()( sp ipxipxesdesucVEmxd,3 ,,,, ' ','','sp xipucixipesd','', sp ipxipxesducEVmxd,'3 ,,,,' xipxipses'' ,'',,''sp Xpiesucxd', '3 ',,',,' pispuc '',,',Xiesd''', pisp'',,', sp pupcsEm,' ',',',,' ',2',,', pEtiesudc ','', tips',',', psp', '',',sp smEuscm Etiespuspdc2',,',, ti''',',, ssps pdpcEs ss1,,,将算符 换成动量算符 ，亦即在上述计算中，将 E 换成 ，其结果mii p就是场的动量算符表达式。

在上面的计算中，去掉算符 ，即在最后结果中去掉 E，并将第二项的“-i”号变成“+ ”，就可以得到守恒荷的动量算符表达式 （注意 是对所有正，反粒子的sp,1电荷求和，应为零）5.粒子性在场的能量，动量，守恒荷的表达式中，描述场的基本算符 ， ，sc,sp,， 以组合spd,s,spcspN,,（16）d的形式出现，根据对易关系（14）可以证明（17）Ncc22,,,例如：  ccc1cN1, Nc2在 N 和 的对角表象中，令，nNn则 ，故 =0，1n22，故 =0，1nN2 2n即 N 或 的本征值只有两个，一个为 0，另一个为 1.又 ncnNcnc1同理： ndnd1N由此可见， ， ， 是粒子的消灭算符，产生算符及粒子数算符而spc,s,p,， ， 是反粒子的消灭算符，产生算符与粒子数算符等正，反粒sd,子的差别仅在于它们的守恒荷差了一个符号§3.5 库仑规范的电磁场和光子用电磁势 描述的电磁场，要在一定的规范条件下才会有意义，但规范条件却带来了A量子化的困难，因此，电磁场的量子化是比较困难的。

这里，我们先讨论库仑规范条件下电磁场的量子化1.经典场电磁场的拉格朗日密度为（1）AA41L在库仑规范条件， （2）0的条件下，该拉格朗日密度可以写成（§2.3，14’式）（3）ijijA21L由此可见， 可以看成是正则坐标，而正则动量为：iA（4）iiii 则场的能量，动量为：   xdAAxdHijijiii 33 21LxdAAijii 321 亦 即（5）Hiii 321（6）xdxdpii32.量子化将正则坐标 和正则动量 看作算符，满足正则对易关系txAi,tAi,'''3xixjji （7）0,',ttxji0,',tAtji就完成了量子化手续这是前面几节行之有效的方法可是在这里却行不通，因为对上面第一式求导可得： ',', 3xitxAtijji 亦即： ',',3ittji由于库仑规范条件 ，故上式成为：0iA（8）0'3xij这显然是错误的之所以出现这样的问题，是由于三对正则坐标 ，正则动量 （i=1 ，2，3）中，因iAi规范条件 的限制，只有两对是独立的。

上述的量子化方法，对独立的正则坐标和0iA正则动量是正确的，对非独立的正则坐标的正则动量就需要修改为此我们将它们用两对独立的正则变量作展开 ,,,)(kxkiii VetqtxA（9）,,,)(,kxkiiii tptt 其中 ， =1，2 是§1.5 节引入的横极化矢量， ，显然 满足库仑,k 0,iA规范条件 ,)(,,k xkiVeitqA （10）0,)(,, k xkiVekitpA 所以 ， （ =1，2）与 ， 相应，就是两对独立的正则算符，满足对易)(,tqk)(,tpkii关系 ''',,)(kkkittq0)(,', tqtkk（11）0)(,',tp由（9）与（11）两式可以导出正则变量 ， 满足对易关系iAi',', 32xtxt jiijji  ， （12）0,',ttAji0,',ttxji例如： ', '',,, ',)(,)(,',  k xkijkxiiji VetpVetqtxt   ,' ',,' )(',k kkjixi ttqVe ,' '',' ',)1(k kjixkii 式 ,' ',,kjixikVe, '2(24)P30,1.5kxkijiijVe 式，节 '32xkijiij ed iix'32ijij这里，在倒数第二行，用到了或 （14）k32kVdk132kd其中 是相空间的大小， 是相格的体积， 就是相kVd3 3h 32kVd格数，对相格的求和，在连续情况下就成为对相空间的积分。

容易证明， （12）式所表示的对易关系，满足库仑规范的条件，因为： ',', 32xitxAt jiijji  左边 0 右边= =0,ti '32ijj故对易关系（12）与库仑规范条件不矛盾象通常一样，正则坐标与正则动量满足正则运动方程15）iiAH,iiA,将 H 的（5）式表达式代入上式得： txditxitxA ijjjii ,'''21,, 3 tAtxtAdi ijj ,,'','')12(3式 '','' 323itxi jijj '',''332 x。