含参变量反常积分的几种计算方法.docx

含参变量反常积分的几种计算方法摘 要：含参变量反常积分是一类比较特殊的积分，由于它是函数又是以积分形式给出，所以它在积分计算中起着 桥梁作用，并且计算难度较大，本文主要总结含参变量反常积分的几种方法，利用这几种方法，可以进行一系列的 积分运算，这样可使含参变量反常积分运算更易理解和掌握关键词：含参变量反常积分 积分号下积分法 积分号下微分法 收敛因子 留数定理在进行含参变量反常积分的运算时，首先要验证条件（包括确定含参变量及其变化范围，把问 题归结为能利用含参变量反常积分运算性质的某一种，还要验证所用性质应满足的条件）,在验证条 件时,判别一致收敛至关重要,判别法通常采用魏尔斯特拉斯判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别 法、柯西判别准则或用定义判别，然而在验证一致收敛时并不简单，这使得含参变量反常积分的计 算有一定的难度，经过验证后，就可以利用含参变量反常积分的性质具体进行运算本人在学习过 程中，通过大量的、不断的练习，进行探索和归纳，总结出几种含参变量反常积分的计算方法，这 几种方法运算技巧强，便于理解和掌握，下面分述于后一积分号下积分法af (x, y )在 x > a, y > c 上连续；(1)(2)要对含参变量反常积分g （y广卜f G,y加实现积分号下求积分’须验证以下条件:卜f （x, y》x在y e [c, +"）上内闭一致收敛，卜f （x, y》x在x e [a, +"）上内闭一致收敛;ac(3)例1卜dy卜|f (x, y)dx及卜dx卜|f (x, y)dy至少有一个收敛，c a a cJ+8dx}" f (x, y)dy =卜dyj+" f (x, y )dxa c c a利用卜 e-u2du 令u=ax J+"ae-g)2dx(Va > 0)，求 J+"e-a2da 的值。

0 0 0caac=卜8 dx f+wa e-o2( x2 +i)da = - ^dx =-o o 2 o 1 + x2 4二积分号下微分法分析：J+"e-x2dx这个积分在概率论中非常有用，它的值可以用多种方法求出，但在这里利用积 0分号下积分法求解，是很值得借鉴的，而且须验证的条件又显然成立解：由已知，得g二卜a e-g）2 dx是取常值的函数，记I二卜e-a2 da ,（a） 0 0则 I2=lj+"e-a2da 二 J+"le-a2da = f+*(f+*ae-(ax)2dx)e-a2da 二 J+"daj+"ae-a2(x2 +i)dx0 0 0 0 0 0故I上2要对含参变量反常积分g(、(y)=J+8 f (x, y )dx实现积分号下求导,a须验证以下条件：(1)(2)(3)则f (x,y),f (x,y)在x> a,y e I上连续(设I为某个区间);y卜f (x, y )dx在y e I上收敛；a卜f (x, y)dx对y e I 一致收敛(或内闭一致收敛)，ayg( ) = M+*f (x,y(y) a用此法求解含参变量反常积分，常常要通过建立微分方程来求积分值；应用这一方法的基本原 则是f (x,y)能比f(x,y)较简单，更容易求出。

y例1求也、=卜ejtx-^ e-1 dx (j为复数单位)◎解:令f (x,»=吉j '显 然 f (x,t)= = ejtx-； 在 x e R,t e R 上连续，又V2kf (x, t )=jx ejtx-；t 2兀，而 jx 十L ejtx—V2Tx2< Ixle— 2x2，由于I +g|x|e- 2 dx = 2，由魏尔斯特拉斯判别法知,—gJ+gf (x,t)dx是一致收敛的，故—g t=J+8 f (x, t)dx = I+g jx ejtx— 2 dx2兀9/(t) —g t—g1 f x2又化)+叫厂存」—：(jt—x)ejtx — 2 dx=0 '所以加(j + 0 (j 丰 0)通过变量分离求解微分方程得In申(t)t2=— + c ，2即9 = ce— 2 (C为积分常数)(t)而卩、=卜丄=e弋dt = 1 (0) —^/2k'：c 二 1—"=e— 2(t)例 2 求 I =j+g (in xt )dt(x) 0 t 1+ t2(t >0)解：令 f(x,t)=_S吗，t 1+ t2显然f (x, t )=(in xt)在x e R, t > 0上连续，且因 t 1+ t2< 1+t2，故积分在任何有限区间上一致收敛。

为了计算I(x)，采用积分号下微分法，由于小芜晋，且 T罟dt在x e R上一致收敛,故I /、=卜8 2°空dt，但这个积分仍不能直接计算x) 0 1+ t2再考虑f (x, t)=xxJ A sin xtdt=—(1 - cos xA )0x2< -x0-—sin xt，当 x > x > 0 日寸,1+ t2 0又当t T 0时,〔单调趋于零，由狄利克雷判别法知，积分Lf (x,t)dt在x > x > 0上致收敛 1+ t2 0 xx 0因此 I // =一卜8 I sin xtdtx) 0 1+ t2当x > 0时(或x < 0 )，I()二次可微且满足微分方程I () = 1//、+卜8 沁 dt ，而当x > 0时,(x) (x) (x) 0 tJ+8 dt =，即当 x > 0时，I(/、一I =-，解得I = + Aex + Be-x (其中 A,B 为常数)0 t 2 (x) (x) 2 (x) 2(x<—x 也一样),0(x) (x)+8(x) (x)(x)因 1 (x )+-注 dt0 1+ t2+81 兀—dt =1 '及I(x) = Aex 一 S '于是要保证I(x)有界，必须A = 0，再1+t2由 / = 0 ,(0)={(x)e— x )2冬 C1+ex)2例3求 1 (A)=J j e+2+X2 ] dx (a > o)故1 (x)= | C - e-x ) (当 x > 0时)，又I(x)为奇函数且连续,解：e-(x2 + 7< e-x2，而Le-x2dx是收敛的，由魏尔斯特拉斯判别法知，厶、对A > 0是一致收 0 ( A)敛，故/(A)是连续，又由f(x，t)=1—ex2A+x2)dx对A > A > 0是一致收敛的。

0因 此 A>0 时 ，I( ) 可 微(A)日 I/ =J+s f (x, t)dx = -J+s丄e-(x2吵dx且 ( A) 0 A 0 x 2(a)77I (a) = J ； e 十 +:dx = e-2“a J +s e0(令 t = x- A)x=e-2、a J +s e-」dt = " e-2、a丄 J+s e-(12 +：丿 dt = 一丄 I ，因此 I = - e -2' AVA 0 . A(A) (a) 2-s又在I/、中令t =込，可得I/ )=-(A) x (A)三 引进含参变量原积分对一些特殊的积分，直接运用牛顿-莱布尼兹公式行不通，此时可以考虑借助含参变量原积分来解决问题例 1 求 I = J+81 — C0S xe-Pxdx ( p> 0 )0x解：考虑I(、=J+8 _cosaXe-pxdx，显然 I =1)（a） 0 x因为血匕注宀x = lim上冷=0，所以x = 0不是瑕点，考虑函数xt0+XT0 e P xf (x, a ) = {1 -cos ax pxx X工0与 f (x, a)= e-P x sin a x 均在 a e R 上连续，而 J+81_C0S" x e -pxdx 在 a e R 上收 a0x敛，J+8 f (x,a》x 在 a0ae R上一致收敛（其中|a |e-px为优函数），因此a e R时，I（）可积分号下求导,a）且 I/ =J+8 e-Px sin axdx = a(a) 0=J— a = -ln(a2 + p2)+ c (c 为积分常数)，又2(a) a 2 + p 2(0)0，故C-|ln P 2，1 (a) = I1"，因此1(i)=2ln (1+p「2)例2求1（卩）=宀0 1 + p x2（卩〉0）解：考虑e、=J’8 1(a)魏尔斯特J8(a) 0 a + p x2+8dx0 a + p x 2拉斯当a > 1时，又有 1(a > 1)，当a > 1 时， 门-ca + p x2 1+ p x2 0判别法知，e0 2 ap (*)+8<——1——，且J+8(a)=J+8 1dx0 a + p x 2(a +px2)2 (1+px2)2 0 (1+px2)2dx收敛，故J+8* ） 式 两 边 对 a求导，得e / =-卜(a) "0 (a + P x 2)20 (1+ p x2 )21 dx收敛,1 + P x20 (a + p x2)2dx 一致收敛，1 兀 3 丄dx = — — a-2P-2 ，令 a = 1 ，得4四 引进收敛因子有些积分是收敛的，但积分号下求导后发散，不满足积分号下可求导的条件，此时可以考虑引进收敛因子，因为收敛因子可以大大改善积分收敛性，从而可以利用含参变量反常积分的性质来解 决问题。

例1求狄利克雷积分卜空色dx ( B e R )0x解：由狄利克雷判别法知该积分收敛，但泌0dx = J+s cos B xdx是发散的，不满足积分 B0号下可求导的条件，因此考虑引进收敛因子e-ax令 g() =卜 e-ax(a ) 0、/空dx ,收敛因子大大改善了x积分收敛性事实上sin B xe-ax -x 丿adx = -卜 e-ax sin B xdx0(1)又 e-ax sin B x < e-ax < e-a(y(ana >00),且 J +8 e-Oydx 收敛,0所以积分(1)在a > 0上内闭一致收敛，故 g/ = -J+8 e-ax sin Bxdx =- --(a ) 0 a 2 + B 2(当a >0,卩〉0时)g(a)因此 g = - arctg + c (c 为(a) Bsin B x+8 e-ax0xdx < B积分常数)+8 )2 )，又 B >0 时 , 有于是在(2)中，令aT+8时取极限，得c =上，故 g2兀 a= 一 arctg2 ' B(a) 2由于卜sinPx dx收敛，自然对。